Verifique que a função implícita dada é solução da EDO:
Passo 1
O enunciado nos dá duas coisas e pede que verifiquemos uma relação entre elas.
- A equação diferencial fornecida é
- A função implícita dada (a ser testada) é
O que se pede: verificar que a função implícita definida por
é solução da equação diferencial dada. Ou seja, mostrar que a derivada
obtida a partir da relação implícita coincide com a derivada exigida pela EDO.
Passo 2
Transformar a EDO para obter uma expressão para
explícita. Parto de
Divido (formalmente) ambos os lados por
(é o procedimento padrão para passar para a forma com
):
Isolando
obtemos
Esta é a expressão que a derivada de
em relação a
deve satisfazer para que a relação seja solução da EDO (desde que
, para não dividir por zero).
Passo 3
Agora obtenho
a partir da relação implícita usando diferenciação implícita. Começo derivando em
a igualdade
Explico as regras usadas:
- Produto: se tem
, a derivada é . - Regra da cadeia para
: .
Derivando termo a termo:
Calculando cada derivada:
e
. Portanto a igualdade diferencial resulta em
Passo 4
Agrupo os termos que contêm
e os que não contêm:
Coloco em evidência
para simplificar:
Dividindo ambos os lados por
(atenção ao caso
), obtenho
Reescrevendo para ligar com a forma encontrada no Passo 2:
Passo 5
Comparo as duas expressões para
:
- Da EDO (Passo 2):
- Da diferenciação implícita (Passo 4):
São idênticas (quando
). Logo a derivada obtida a partir da relação implícita satisfaz exatamente a relação imposta pela EDO; portanto a função implícita é uma solução da EDO nas regiões onde tudo é bem definido (i.e.,
diferenciável e
).
Resposta
Sim. A relação
implica
, portanto é solução da EDO (para
).