Verifique que a função implícita dada é solução da EDO:
2 x y d x+\left(x^{2}-y\right) d y=0 ; \quad-2 x^{2} y+y^{2}=1

Passo 1

O enunciado nos dá duas coisas e pede que verifiquemos uma relação entre elas.
  • A equação diferencial fornecida é 2 x y\,dx + \left(x^{2}-y\right)\,dy = 0.
  • A função implícita dada (a ser testada) é -2 x^{2} y + y^{2} = 1.
O que se pede: verificar que a função implícita definida por -2 x^{2} y + y^{2} = 1 é solução da equação diferencial dada. Ou seja, mostrar que a derivada dy/dx obtida a partir da relação implícita coincide com a derivada exigida pela EDO.

Passo 2

Transformar a EDO para obter uma expressão para \dfrac{dy}{dx} explícita. Parto de
2 x y\,dx + \left(x^{2}-y\right)\,dy = 0.
Divido (formalmente) ambos os lados por dx (é o procedimento padrão para passar para a forma com \dfrac{dy}{dx}):
2 x y + \left(x^{2}-y\right)\frac{dy}{dx} = 0.
Isolando \dfrac{dy}{dx} obtemos
\frac{dy}{dx} = -\frac{2 x y}{x^{2}-y}.
Esta é a expressão que a derivada de y em relação a x deve satisfazer para que a relação seja solução da EDO (desde que x^{2}-y\neq 0, para não dividir por zero).

Passo 3

Agora obtenho \dfrac{dy}{dx} a partir da relação implícita usando diferenciação implícita. Começo derivando em x a igualdade
-2 x^{2} y + y^{2} = 1.
Explico as regras usadas:
  • Produto: se tem \,x^{2}y, a derivada é \dfrac{d}{dx}(x^{2})\cdot y + x^{2}\cdot \dfrac{dy}{dx}.
  • Regra da cadeia para y^{2}: \dfrac{d}{dx}(y^{2}) = 2y\cdot \dfrac{dy}{dx}.
    Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(-2 x^{2} y\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr) = \frac{d}{dx}(1).
Calculando cada derivada:
\frac{d}{dx}\bigl(-2 x^{2} y\bigr) = -2\bigl(2x\cdot y + x^{2}\cdot \frac{dy}{dx}\bigr) = -4xy -2x^{2}\frac{dy}{dx},
\frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr) = 2y\frac{dy}{dx},
e \dfrac{d}{dx}(1)=0. Portanto a igualdade diferencial resulta em
-4xy -2x^{2}\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx} = 0.

Passo 4

Agrupo os termos que contêm \dfrac{dy}{dx} e os que não contêm:
\bigl(-2x^{2} + 2y\bigr)\frac{dy}{dx} - 4xy = 0.
Coloco em evidência 2 para simplificar:
2\bigl(y - x^{2}\bigr)\frac{dy}{dx} = 4xy.
Dividindo ambos os lados por 2(y-x^{2}) (atenção ao caso y-x^{2}\neq 0), obtenho
\frac{dy}{dx} = \frac{4xy}{2(y-x^{2})} = \frac{2xy}{y-x^{2}}.
Reescrevendo para ligar com a forma encontrada no Passo 2:
\frac{dy}{dx} = -\frac{2xy}{x^{2}-y}.

Passo 5

Comparo as duas expressões para \dfrac{dy}{dx}:
  • Da EDO (Passo 2): \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2 x y}{x^{2}-y}.
  • Da diferenciação implícita (Passo 4): \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2 x y}{x^{2}-y}.
São idênticas (quando x^{2}-y\neq 0). Logo a derivada obtida a partir da relação implícita satisfaz exatamente a relação imposta pela EDO; portanto a função implícita é uma solução da EDO nas regiões onde tudo é bem definido (i.e., y diferenciável e x^{2}-y\neq 0).

Resposta

Sim. A relação -2 x^{2} y + y^{2} = 1 implica \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2 x y}{x^{2}-y}, portanto é solução da EDO (para x^{2}\neq y).

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