Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
x=2-y^{2}, x=y^{4}, em torno de eixo y.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Dado: as curvas x=2-y^{2} e x=y^{4}.
  • Pedido: encontrar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por essas duas curvas em torno do eixo y.
  • Informações importantes a listar (tudo retirado do enunciado):
    • Para cada valor de y, a região está entre x=y^{4} (à esquerda) e x=2-y^{2} (à direita).
    • O eixo de rotação é o eixo y, que é a reta x=0.

Passo 2

Decidir o método de cálculo e por quê (explicação didática).
  • Quando giramos uma região em torno do eixo y e as curvas são dadas como x= função de y, uma escolha natural é o método dos discos (ou anéis), também chamado método dos “washers”.
  • Ideia do método dos washers: para cada y fixo, a secção transversal do sólido perpendicular ao eixo y é um círculo (se a região toca o eixo) ou um anel (se há um buraco). O volume diferencial é a área do anel multiplicada por dy. A fórmula geral é: V=\pi\int_{a}^{b}\bigl(R(y)^{2}-r(y)^{2}\bigr)\,dy,onde:
    • R(y) é o raio externo (distância do eixo de rotação à curva mais afastada do eixo),
    • r(y) é o raio interno (distância do eixo à curva mais próxima do eixo),
    • a e b são os limites em y que descrevem a região.
  • No nosso caso o eixo é x=0, portanto as distâncias até as curvas são simplesmente os valores de x: R(y)=2-y^{2} (o lado direito) e r(y)=y^{4} (o lado esquerdo).

Passo 3

Determinar os limites de integração: pontos de interseção das curvas.
  • As curvas intersectam quando y^{4}=2-y^{2}.
  • Para resolver, faça a substituição t=y^{2} (observação: t\ge 0). Isso transforma em t^{2}+t-2=0.
  • Resolver a quadrática: t=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\frac{-1\pm 3}{2}.Assim t=1 ou t=-2. Como t\ge0, temos t=1, ou seja y^{2}=1.
  • Portanto as interseções ocorrem em y=1 e y=-1. Esses serão os limites de integração: a=-1, b=1.

Passo 4

Montar a integral do volume usando washers (apresentando cada passo com cuidado).
  • Aplicando a fórmula: V=\pi\int_{-1}^{1}\Bigl[(2-y^{2})^{2}-(y^{4})^{2}\Bigr]\,dy.
  • Explicar o porquê de cada termo:
    • (2-y^{2})^{2} é R(y)^{2}, o quadrado do raio externo.
    • (y^{4})^{2}=y^{8} é r(y)^{2}, o quadrado do raio interno.

Passo 5

Simplificar o integrando e usar simetria para facilitar a integração.
  • Expandir (2-y^{2})^{2}: (2-y^{2})^{2}=4-4y^{2}+y^{4}.
  • Subtrair y^{8}: (2-y^{2})^{2}-y^{8}=4-4y^{2}+y^{4}-y^{8}.
  • Observação sobre simetria: a função 4-4y^{2}+y^{4}-y^{8} é par (todos os expoentes de y são pares), então a integral de -1 a 1 é o dobro da integral de 0 a 1. Assim: V=\pi\int_{-1}^{1}\bigl(4-4y^{2}+y^{4}-y^{8}\bigr)\,dy =2\pi\int_{0}^{1}\bigl(4-4y^{2}+y^{4}-y^{8}\bigr)\,dy.

Passo 6

Calcular a integral passo a passo (mostrar antiderivadas e avaliação).
  • Calcule as antiderivadas termo a termo: \int 4\,dy = 4y, \qquad \int -4y^{2}\,dy = -\frac{4}{3}y^{3},
\int y^{4}\,dy = \frac{1}{5}y^{5}, \qquad \int -y^{8}\,dy = -\frac{1}{9}y^{9}.
  • Portanto \int_{0}^{1}\bigl(4-4y^{2}+y^{4}-y^{8}\bigr)\,dy =\left[4y-\frac{4}{3}y^{3}+\frac{1}{5}y^{5}-\frac{1}{9}y^{9}\right]_{0}^{1}.
  • Avaliando em y=1 e y=0: =4-\frac{4}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}.

Passo 7

Fazer a soma das frações com cuidado (aritmética exata).
  • Colocar tudo sobre um denominador comum. Um denominador conveniente é 45 (múltiplo de 3,5,9): 4=\frac{180}{45},\quad -\frac{4}{3}=-\frac{60}{45},\quad \frac{1}{5}=\frac{9}{45},\quad -\frac{1}{9}=-\frac{5}{45}.
  • Somando: 4-\frac{4}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9} =\frac{180-60+9-5}{45}=\frac{124}{45}.
  • Então a integral de 0 a 1 vale \dfrac{124}{45}. Lembrando o fator 2\pi que ficou fora: V=2\pi\cdot\frac{124}{45}=\frac{248\pi}{45}.

Resposta

\displaystyle \frac{248\pi}{45}

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