Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
, em torno de eixo
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Dado: as curvas
e . - Pedido: encontrar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por essas duas curvas em torno do eixo
. - Informações importantes a listar (tudo retirado do enunciado):
- Para cada valor de
, a região está entre (à esquerda) e (à direita). - O eixo de rotação é o eixo
, que é a reta .
- Para cada valor de
Passo 2
Decidir o método de cálculo e por quê (explicação didática).
- Quando giramos uma região em torno do eixo
e as curvas são dadas como função de , uma escolha natural é o método dos discos (ou anéis), também chamado método dos “washers”. - Ideia do método dos washers: para cada
fixo, a secção transversal do sólido perpendicular ao eixo é um círculo (se a região toca o eixo) ou um anel (se há um buraco). O volume diferencial é a área do anel multiplicada por . A fórmula geral é: onde: -
é o raio externo (distância do eixo de rotação à curva mais afastada do eixo), -
é o raio interno (distância do eixo à curva mais próxima do eixo), -
e são os limites em que descrevem a região.
-
- No nosso caso o eixo é
, portanto as distâncias até as curvas são simplesmente os valores de : (o lado direito) e (o lado esquerdo).
Passo 3
Determinar os limites de integração: pontos de interseção das curvas.
- As curvas intersectam quando
- Para resolver, faça a substituição
(observação: ). Isso transforma em - Resolver a quadrática:
Assim ou . Como , temos , ou seja . - Portanto as interseções ocorrem em
e . Esses serão os limites de integração: , .
Passo 4
Montar a integral do volume usando washers (apresentando cada passo com cuidado).
- Aplicando a fórmula:
- Explicar o porquê de cada termo:
-
é , o quadrado do raio externo. -
é , o quadrado do raio interno.
-
Passo 5
Simplificar o integrando e usar simetria para facilitar a integração.
- Expandir
: - Subtrair
: - Observação sobre simetria: a função
é par (todos os expoentes de são pares), então a integral de a é o dobro da integral de a . Assim:
Passo 6
Calcular a integral passo a passo (mostrar antiderivadas e avaliação).
- Calcule as antiderivadas termo a termo:
- Portanto
- Avaliando em
e :
Passo 7
Fazer a soma das frações com cuidado (aritmética exata).
- Colocar tudo sobre um denominador comum. Um denominador conveniente é
(múltiplo de ): - Somando:
- Então a integral de
a vale . Lembrando o fator que ficou fora: