Calcule
integral x^5 e^-x^2 d x
Substituindo
lu=-x^2 d u=-2 x d x
integral x^5 e^-x^2 d x=integral x^4 e^-x^2 x d x=-12 integral u^2 e^u d u
Como
integral u^2 e^u d u & stackrelP P=-2 integral u e^u d u+u^2 e^u & stackrelP P=-2(-integral e^u d u+u e^u)+u^2 e^u & =(2-2 u+u^2) e^u+C
então
integral x^5 e^-x^2 d x=-e^-x^22(2+2 x^2+x^4)+A

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^5e^-x^2,dx
usando substituição e depois integração por partes.

Passo 2

Separe x^5dx em x^4cdot x,dx e faça
u=-x^2, du=-2x,dx
Note que
x^4=(x^2)^2=(-u)^2=u^2,
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integral x^5e^-x^2,dx =integral x^4e^-x^2;x,dx =integral u^2e^ul(-tfrac12,dur) =-tfrac12integral u^2e^u,du

Passo 3

Defina
I=integral u^2e^u,du
e aplique integração por partes com
A=u^2, dB=e^u,du
de modo que
dA=2u,du, B=e^u
Isso dá
I =u^2e^u-2integral u,e^u,du

Passo 4

Agora calcule
integral u,e^u,du
por partes com
A=u, dB=e^u,du
de modo que
dA=du, B=e^u
Fica
integral u,e^u,du =u,e^u-integral e^u,du =u,e^u-e^u+C
Substituindo em I,
I =u^2e^u-2l(u,e^u-e^ur) =(u^2-2u+2)e^u+C

Passo 5

Volte à variável x usando u=-x^2. Então
u^2-2u+2 =x^4+2x^2+2, e^u=e^-x^2,
e
integral x^5e^-x^2,dx =-tfrac12l(u^2-2u+2r)e^u+C =-tfrac12(x^4+2x^2+2)e^-x^2+C

Resposta

integral x^5e^-x^2,dx =-12l(x^4+2x^2+2r)e^-x^2+C

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