Questão 2. (2 pontos) Considere a EDO
y^prime=a(4-y^2) y^2
onde a é um número real não nulo.
a) Como podemos ter a>0 ou a<0, faça, para cada um destes casos, o esboço das soluções desta equação sem resolvê-la, encontre suas soluções de equilíbrio e classifique-as em estável, instável ou semi-estável.
d) Para que valores de a o maior ponto de equilíbrio desta equação é instável?

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO autônoma
y' = a,(4 - y^2),y^2
com parâmetro real aneq0. Queremos, sem resolver explicitamente, esboçar as soluções qualitativas para os casos a>0 e a<0, encontrar os pontos de equilíbrio e classificá-los (estável, instável ou semi-estável). Em (d) pedem para quais valores de a o maior ponto de equilíbrio é instável.

Passo 2

Os pontos de equilíbrio satisfazem y'=0, ou seja
a,(4 - y^2),y^2 = 0
Logo as raízes são
y = 0(mu<iplicidade 2), y = pm 2

Passo 3

Para classificar y=pm2, calculamos
f(y) = a,(4 - y^2),y^2, f'(y) = ddyl[a(4-y^2)y^2r] = al(8y - 4y^3r) = 4a,y,(2 - y^2)
Em y=2 obtém-se
f'(2) = -16a,
e em y=-2
f'(-2)=16a
Pela linearização, se f'(y^*)<0 o equilíbrio é estável; se f'(y^*)>0, instável.

Passo 4

No ponto y=0 temos f'(0)=0, então olhamos o sinal de f(y) para |y|ll2:
f(y)approx4a,y^2
Se a>0, f(y)>0 ao redor de zero, então y'!>0 para yneq0: atrai de y<0 e repele de y>0. Se a<0, f(y)<0 próximo de zero: repele de y<0 e atrai de y>0. Em ambos os casos y=0 é semi-estável.

Passo 5

Caso a>0: como y^2>0 sempre e 4-y^2>0 se |y|<2 e <0 se |y|>2, temos
  • em (-infty,-2): y'<0,
  • em (-2,0) e em (0,2): y'>0,
  • em (2,infty): y'<0.
    Desse diagrama de fase segue que
    ,y=-2 é instável,
    ,y=0 é semi-estável (atrai pela esquerda, repele pela direita),
    ,y=2 é estável.

Passo 6

Caso a<0: o sinal de y'=a,y^2(4-y^2) inverte, logo
  • em (-infty,-2): y'>0,
  • em (-2,0) e em (0,2): y'<0,
  • em (2,infty): y'>0.
    Daí
    ,y=-2 é estável,
    ,y=0 é semi-estável (com atração e repulsão invertidas),
    ,y=2 é instável.

Passo 7

O maior ponto de equilíbrio é y=2. Ele será instável sempre que f'(2)>0, ou seja quando -16a>0, isto é para
a < 0

Resposta

Para a>0:
y=-2 instável, y=0 semi-estável (atrai de y<0 e repele de y>0), y=2 estável.
Para a<0:
y=-2 estável, y=0 semi-estável (com atração/repulsão invertidas), y=2 instável.
O maior ponto de equilíbrio y=2 é instável quando a<0.

Exercícios relacionados