Questão 2. (2 pontos) Considere a EDO
onde
é um número real não nulo.
a) Como podemos ter
ou
, faça, para cada um destes casos, o esboço das soluções desta equação sem resolvê-la, encontre suas soluções de equilíbrio e classifique-as em estável, instável ou semi-estável.
d) Para que valores de
o maior ponto de equilíbrio desta equação é instável?
a) Como podemos ter
d) Para que valores de
Passo 1
O enunciado apresenta a EDO autônoma
com parâmetro real
. Queremos, sem resolver explicitamente, esboçar as soluções qualitativas para os casos
e
, encontrar os pontos de equilíbrio e classificá-los (estável, instável ou semi-estável). Em (d) pedem para quais valores de
o maior ponto de equilíbrio é instável.
Passo 2
Os pontos de equilíbrio satisfazem
, ou seja
Logo as raízes são
Passo 3
Para classificar
, calculamos
Em
obtém-se
e em
Pela linearização, se
o equilíbrio é estável; se
, instável.
Passo 4
No ponto
temos
, então olhamos o sinal de
para
:
Se
,
ao redor de zero, então
para
: atrai de
e repele de
. Se
,
próximo de zero: repele de
e atrai de
. Em ambos os casos
é semi-estável.
Passo 5
Caso
: como
sempre e
se
e
se
, temos
- em
: , - em
e em : , - em
: .
Desse diagrama de fase segue que
é instável,
é semi-estável (atrai pela esquerda, repele pela direita),
é estável.
Passo 6
Caso
: o sinal de
inverte, logo
- em
: , - em
e em : , - em
: .
Daí
é estável,
é semi-estável (com atração e repulsão invertidas),
é instável.
Passo 7
O maior ponto de equilíbrio é
. Ele será instável sempre que
, ou seja quando
, isto é para
Resposta
Para
:
instável,
semi-estável (atrai de
e repele de
),
estável.
Para
:
estável,
semi-estável (com atração/repulsão invertidas),
instável.
O maior ponto de equilíbrio
é instável quando
.