Calcule a integral de superfície do campo de vetores para a superfície fechada e com orientação positiva dada pela caixa .
Passo 1
O enunciado pede pra calcular a integral de superfície fechada do campo na caixa . Isso é um típico caso de aplicar o Teorema da Divergência, que diz que o fluxo de saindo de vale . Vamos precisar então achar e integrar sobre o volume.
Passo 2
Vamos calcular a divergência de . Por definição,
Passo 3
Derivando cada parte,
Passo 4
Logo,
Passo 5
Pelo Teorema da Divergência,
com . Como o integrando separa em termos só de , só de e só de , a integral se divide em três partes.
Passo 6
Calculamos cada parte separadamente:
Parte :
Passo 7
Parte y:
integral0^1-4y^3,dy = -4y^44|0^1 = -1
Passo 8
Essa contribuição fica multiplicada por integral-1^2dx=3 e por integral1^4dz=3, dando -1cdot3cdot3=-9.
Passo 9
Parte z:
integral1^42z,dz = z^2|1^4 = 16-1=15
Passo 10
Multiplicando por integral-1^2dx=3 e por integral0^1dy=1, obtemos 15cdot3cdot1=45.