Calcule a integral de superfície do campo de vetores F(x, y, z)= sen(pi x) i+(z-y^4) j+(z^2+ln (x)) k para a superfície fechada e com orientação positiva S dada pela caixa [-1,2] times[0,1] times[1,4].

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral de superfície fechada integral duplaS Fcdot dS do campo F(x,y,z)=sin(pi x),i+(z-y^4),j+(z^2+ln(x)),k na caixa [-1,2]times[0,1]times[1,4]. Isso é um típico caso de aplicar o Teorema da Divergência, que diz que o fluxo de F saindo de S vale integral triplaV nablacdot F,dV. Vamos precisar então achar nablacdot F e integrar sobre o volume.

Passo 2

Vamos calcular a divergência de F. Por definição,
nablacdot F = partialpartial x[sin(pi x)] + partialpartial y[z - y^4] + partialpartial z[z^2 + ln(x)]

Passo 3

Derivando cada parte,
partialpartial xsin(pi x)=picos(pi x), partialpartial y(z-y^4)=-4y^3, partialpartial z(z^2+ln x)=2z

Passo 4

Logo,
nablacdot F = picos(pi x) -4y^3 + 2z

Passo 5

Pelo Teorema da Divergência,
integral duplaS Fcdot dS = integral triplaV (picos(pi x)-4y^3+2z),dx,dy,dz,
com xin[-1,2], yin[0,1], zin[1,4]. Como o integrando separa em termos só de x, só de y e só de z, a integral se divide em três partes.

Passo 6

Calculamos cada parte separadamente:
Parte x:
integral-1^2picos(pi x),dx = sin(pi x)|-1^2 = sin(2pi)-sin(-pi)=0

Passo 7

Parte y:
integral0^1-4y^3,dy = -4y^44|0^1 = -1

Passo 8

Essa contribuição fica multiplicada por integral-1^2dx=3 e por integral1^4dz=3, dando -1cdot3cdot3=-9.

Passo 9

Parte z:
integral1^42z,dz = z^2|1^4 = 16-1=15

Passo 10

Multiplicando por integral-1^2dx=3 e por integral0^1dy=1, obtemos 15cdot3cdot1=45.

Passo 11

Somando todas as contribuições:
0 + (-9) + 45 = 36

Resposta

36

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