Para quais valores de x a função
f(x)=x^2-5 x+6x-2
é contínua? Justifique sua resposta!

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função:
f(x)=x^2-5 x+6x-2
E precisamos descobrir para quais valores de essa função é contínua. A continuidade de uma função significa que não há “saltos” ou “interrupções” no seu gráfico. Para resolver isso, vamos analisar onde a função pode não ser contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função pode ter problemas de continuidade. Olhando para a função, percebemos que ela é uma fração, e as frações podem ter problemas quando o denominador é igual a zero, pois não podemos dividir por zero.
Então, vamos encontrar os valores de x - 2 = 0 x = 2 que tornam o denominador zero:
Portanto, quando , o denominador se anula e a função não está definida nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a descontinuidade em x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) é removível. Uma descontinuidade é removível se conseguimos simplificar a função de forma que o ponto problemático desapareça.
Vamos fatorar o numerador da função:
f(x) = (x - 2)(x - 3)x - 2
Então, substituindo de volta na função original:

Passo 4

Observamos que tanto no numerador quanto no denominador temos o fator f(x) = x - 3 para x neq 2 . Podemos simplificar a função cancelando esse fator:
Isso significa que, exceto quando , a função se comporta como uma função linear , que é contínua em todos os pontos.

Passo 5

No entanto, mesmo após a simplificação, em a função original não está definida, pois o denominador é zero e não podemos dividir por zero. Portanto, a função tem uma descontinuidade em e não é contínua nesse ponto.

Resposta

A função é contínua para todos os valores de exceto .

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