Encontre, em cada item, a solução do problema de Cauchy, usando o Método dos Coeficientes a Determinar para encontrar a solução particular da equação não homogênea.
Passo 1
O problema pede para resolver o problema de Cauchy
usando EDO linear de 2ª ordem não homogênea e o método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada. A equação característica é
cuja raiz é
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular para a parte polinomial da não homogeneidade, isto é, para o termo
. Como não há ressonância com
, supomos
Calculamos
então
Igualando a
de onde
Passo 4
Em seguida buscamos uma solução particular para o termo exponencial
. Não há ressonância porque
não anula a característica. Supomos
Então
e igualamos a
, obtendo
Passo 5
A solução geral da EDO não homogênea é a soma
$$y(x) = y_h(x) + y_{p1}(x) + y_{p2}(x)
= C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) + \tfrac14 x^2 - \tfrac18 + \tfrac35 e^x.$$
Passo 6
Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro,
:
Passo 7
Depois calculamos a derivada:
Em
$$y’(0) = -2C_1\cdot0 + 2C_2\cdot1 + 0 + \tfrac35 = 2
\implies 2C_2 + \tfrac35 = 2
\implies 2C_2 = \tfrac{7}{5}
\implies 2C_2 = \tfrac{7}{5}
\implies C_2 = \tfrac{7}{10}.$$
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral, temos a solução do problema de Cauchy: