Encontre, em cada item, a solução do problema de Cauchy, usando o Método dos Coeficientes a Determinar para encontrar a solução particular da equação não homogênea.
ly^prime prime+4 y=x^2+3 e^x y(0)=0, y^prime(0)=2

Passo 1

O problema pede para resolver o problema de Cauchy
y''+4y = x^2 + 3e^x, y(0)=0,; y'(0)=2,
usando EDO linear de 2ª ordem não homogênea e o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada. A equação característica é
r^2 + 4 = 0
cuja raiz é
r = pm 2i
Logo a solução homogênea é
yh(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x)

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular para a parte polinomial da não homogeneidade, isto é, para o termo x^2. Como não há ressonância com yh, supomos
yp1(x) = A x^2 + B x + C
Calculamos
yp1'' = 2A, yp1 = A x^2 + B x + C,
então
yp1'' + 4yp1 = 2A + 4(Ax^2 + Bx + C) = 4A x^2 + 4B x + (2A + 4C)
Igualando a x^2 obtemos o sistema
4A = 1, 4B = 0, 2A + 4C = 0,
de onde
A = tfrac14,; B = 0,; C = -tfrac18

Passo 4

Em seguida buscamos uma solução particular para o termo exponencial 3e^x. Não há ressonância porque r=1 não anula a característica. Supomos
yp2(x) = D e^x
Então
yp2'' + 4yp2 = D e^x + 4D e^x = 5D e^x
e igualamos a 3e^x, obtendo
5D = 3 implies D = tfrac35

Passo 5

A solução geral da EDO não homogênea é a soma
$$y(x) = y_h(x) + y_{p1}(x) + y_{p2}(x)
= C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) + \tfrac14 x^2 - \tfrac18 + \tfrac35 e^x.$$

Passo 6

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro, y(0)=0:
y(0) = C1cdot1 + C2cdot0 + 0 - tfrac18 + tfrac35 = 0 implies C1 - tfrac18 + tfrac35 = 0 implies C1 = tfrac18 - tfrac35 = -tfrac1940

Passo 7

Depois calculamos a derivada:
y'(x) = -2C1sin(2x) + 2C2cos(2x) + tfrac12 x + tfrac35 e^x
Em x=0 e impondo y'(0)=2:
$$y’(0) = -2C_1\cdot0 + 2C_2\cdot1 + 0 + \tfrac35 = 2
\implies 2C_2 + \tfrac35 = 2
\implies 2C_2 = \tfrac{7}{5}
\implies C_2 = \tfrac{7}{10}.$$

Passo 8

Substituindo C1 e C2 na solução geral, temos a solução do problema de Cauchy:

Passo 9

Resposta

y(x) = -tfrac1940cos(2x) + tfrac710sin(2x) + tfrac14 x^2 - tfrac18 + tfrac35 e^x

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