3- Calcule a integral de superfície de f(x, y, z)=z sobre a superfície lateral do cilindro x^{2}+y^{2}=4,0 \leq z \leq 1.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
Dado: a função f(x,y,z)=z.
Dada a superfície: a superfície lateral do cilindro \,x^{2}+y^{2}=4, com 0\le z\le1. Ou seja, é o cilindro de raio 2 entre as alturas z=0 e z=1, excluindo as tampas.
Pedido: calcular a integral de superfície da função f sobre essa superfície lateral, isto é, calcular
Cheque rápido alternativo (interpretativo) para reforçar que o resultado faz sentido.
A área lateral do cilindro é \text{área}= (\text{circunferência})\times(\text{altura}) = 2\pi\cdot 2\cdot 1 = 4\piáê.
A média de z entre 0 e 1 é \tfrac{1}{2}.
Logo \iint_{S} z\,\mathrm{d}S = (\text{média de }z)\times(\text{área}) = \tfrac{1}{2}\cdot 4\pi = 2\piéá, que coincide com o cálculo direto — ótimo sinal de que está correto.