3- Calcule a integral de superfície de f(x, y, z)=z sobre a superfície lateral do cilindro x^{2}+y^{2}=4,0 \leq z \leq 1.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: a função f(x,y,z)=z.
  • Dada a superfície: a superfície lateral do cilindro \,x^{2}+y^{2}=4, com 0\le z\le1. Ou seja, é o cilindro de raio 2 entre as alturas z=0 e z=1, excluindo as tampas.
  • Pedido: calcular a integral de superfície da função f sobre essa superfície lateral, isto é, calcular
\iint_{S} f\,\mathrm{d}S=\iint_{S} z\,\mathrm{d}S.

Passo 2

Escolha do método e a fórmula que vamos usar.
  • Para uma superfície parametrizada por \mathbf{r}(u,v), a integral de superfície de uma função escalar f é
\iint_{S} f\,\mathrm{d}S=\iint_{D} f\big(\mathbf{r}(u,v)\big)\,\big\lVert \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\rVert\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v,
onde \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v são as derivadas parciais de \mathbf{r} em relação a u e v, e D é a região no plano dos parâmetros.
  • Para o cilindro de raio 2 é natural usar parâmetros (\theta,z), com \theta sendo o ângulo e z a altura. Assim escolhemos a parametrização
\mathbf{r}(\theta,z)=\big(2\cos\theta,\;2\sin\theta,\;z\big),
com \theta\in[0,2\pi] e z\in[0,1]. Essa parametrização percorre toda a superfície lateral exatamente uma vez.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais \mathbf{r}_\theta e \mathbf{r}_z e o produto vetorial.
  • Derivadas:
\mathbf{r}_\theta(\theta,z)=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta}=(-2\sin\theta,\;2\cos\theta,\;0),
\mathbf{r}_z(\theta,z)=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial z}=(0,\;0,\;1).
  • Produto vetorial \mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z. Calcula-se por determinante ou diretamente:
\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -2\sin\theta & 2\cos\theta & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} =(2\cos\theta,\;2\sin\theta,\;0).
  • Norma do produto vetorial:
\big\lVert \mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z\big\rVert =\sqrt{(2\cos\theta)^2+(2\sin\theta)^2} =\sqrt{4(\cos^2\theta+\sin^2\theta)} =2.
Observação intuitiva: para um cilindro de raio a costuma aparecer a como fator (aqui a=2), então \mathrm{d}S=2\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z.

Passo 4

Substituir na fórmula da integral e montar o integral múltiplo.
  • Avaliamos f na parametrização: f\big(\mathbf{r}(\theta,z)\big)=z.
  • Então o integrando torna-se z\cdot\big\lVert \mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z\big\rVert = z\cdot 2 = 2z.
  • A integral sobre S transforma-se em
\iint_{S} z\,\mathrm{d}S=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{z=0}^{1} 2z\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}\theta.

Passo 5

Calcular a integral dupla passo a passo (sem pular etapas).
  • Primeiro integramos em z:
\int_{0}^{1} 2z\,\mathrm{d}z = \left[z^{2}\right]_{0}^{1}=1^{2}-0^{2}=1.
  • Agora integramos em \theta:
\int_{0}^{2\pi} 1\,\mathrm{d}\theta = 2\pi.
  • Portanto a integral total é 2\pi.

Passo 6

Cheque rápido alternativo (interpretativo) para reforçar que o resultado faz sentido.
  • A área lateral do cilindro é \text{área}= (\text{circunferência})\times(\text{altura}) = 2\pi\cdot 2\cdot 1 = 4\piáê.
  • A média de z entre 0 e 1 é \tfrac{1}{2}.
  • Logo \iint_{S} z\,\mathrm{d}S = (\text{média de }z)\times(\text{área}) = \tfrac{1}{2}\cdot 4\pi = 2\piéá, que coincide com o cálculo direto — ótimo sinal de que está correto.

Resposta

\,2\pi

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