1- Calcule a integral de superfície \iint_{S} f(x, y, z) d s, onde f(x, y, z)=x+y e S é a parte do plano \pi: z+x+y=3 situada sobre o quadrado 0 \leq x \leq 1 e 0 \leq y \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície \iint_{S} f(x,y,z)\,ds, onde f(x,y,z)=x+y e S é a parte do plano \pi:\\ z+x+y=3 sobre o quadrado 0\le x\le1, 0\le y\le1. Informações dadas:
  • A superfície S é a porção do plano \pi que está sobre o domínio D no plano xy formado pelo quadrado D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\\\ 0\le y\le1\}.
  • A função a integrar sobre a superfície é f(x,y,z)=x+y.
    O que se pede: calcular \iint_{S} (x+y)\,ds considerando a parte do plano indicada.

Passo 2

Vamos transformar a integral de superfície sobre a parte do plano em uma integral dupla sobre o domínio D no plano xy. Quando a superfície é o gráfico de uma função z=g(x,y), a fórmula padrão é:
\iint_{S} f(x,y,z)\,ds=\iint_{D} f\bigl(x,y,g(x,y)\bigr)\,\sqrt{1+\bigl(\partial_x g\bigr)^2+\bigl(\partial_y g\bigr)^2}\,dA.
Explicando cada parte dessa fórmula (devagar e com carinho):
  • g(x,y) é a função que dá a coordenada z da superfície em termos de x,y.
  • \partial_x g e \partial_y g são as derivadas parciais de g em relação a x e y.
  • O fator \sqrt{1+(\partial_x g)^2+(\partial_y g)^2} aparece porque ds (elemento de área sobre a superfície) se relaciona com o elemento de área dA no plano xy por essa fator de alongamento/ inclinação.
  • dA é o elemento de área no plano xy (aqui será dx\,dy).
    Essa fórmula transforma o problema de integrar sobre a superfície em integrar uma função simples sobre o domínio plano D.

Passo 3

Escrever o plano como gráfico z=g(x,y). Da equação do plano \pi:\\ z+x+y=3 isolamos z:
g(x,y)=3-x-y.
Agora calculamos as derivadas parciais:
\partial_x g(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(3-x-y)=-1, \qquad \partial_y g(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(3-x-y)=-1.
Como são constantes, o fator da raiz fica simples:
\sqrt{1+\bigl(\partial_x g\bigr)^2+\bigl(\partial_y g\bigr)^2} =\sqrt{1+(-1)^2+(-1)^2} =\sqrt{1+1+1} =\sqrt{3}.
Observação didática: sempre que o plano for de forma linear em x,y (como aqui), as derivadas parciais são constantes e a raiz vira uma constante, o que simplifica bastante a integral.

Passo 4

Aplicando a fórmula da Passo 2 com g(x,y)=3-x-y e o fator \sqrt{3}, a integral de superfície fica
\iint_{S} (x+y)\,ds =\iint_{D} (x+y)\,\sqrt{3}\,dA.
Como \sqrt{3} é constante, podemos factorá-la para fora da integral:
\iint_{S} (x+y)\,ds =\sqrt{3}\iint_{D} (x+y)\,dA.
Aqui dA=dx\,dy e D é o quadrado 0\le x\le1,\\\ 0\le y\le1.

Passo 5

Calcular a integral dupla sobre o quadrado passo a passo:
\iint_{D} (x+y)\,dA =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} (x+y)\,dx\,dy.
Primeiro integramos em x:
\int_{0}^{1} (x+y)\,dx =\int_{0}^{1} x\,dx+\int_{0}^{1} y\,dx =\left[\tfrac{1}{2}x^{2}\right]_{0}^{1}+y\left[x\right]_{0}^{1} =\tfrac{1}{2}+y.
Agora integramos esse resultado em y de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\left(\tfrac{1}{2}+y\right)dy =\left[\tfrac{1}{2}y+\tfrac{1}{2}y^{2}\right]_{0}^{1} =\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1.
Portanto \iint_{D} (x+y)\,dA = 1. Voltando à integral de superfície:
\iint_{S} (x+y)\,ds = \sqrt{3}\cdot 1 = \sqrt{3}.

Resposta

\sqrt{3}

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