1- Calcule a integral de superfície
, onde
e
é a parte do plano
situada sobre o quadrado
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
, onde
e
é a parte do plano
sobre o quadrado
,
. Informações dadas:
- A superfície
é a porção do plano que está sobre o domínio no plano formado pelo quadrado . - A função a integrar sobre a superfície é
.
O que se pede: calcularconsiderando a parte do plano indicada.
Passo 2
Vamos transformar a integral de superfície sobre a parte do plano em uma integral dupla sobre o domínio
no plano
. Quando a superfície é o gráfico de uma função
, a fórmula padrão é:
Explicando cada parte dessa fórmula (devagar e com carinho):
-
é a função que dá a coordenada da superfície em termos de . -
e são as derivadas parciais de em relação a e . - O fator
aparece porque (elemento de área sobre a superfície) se relaciona com o elemento de área no plano por essa fator de alongamento/ inclinação. -
é o elemento de área no plano (aqui será ).
Essa fórmula transforma o problema de integrar sobre a superfície em integrar uma função simples sobre o domínio plano.
Passo 3
Escrever o plano como gráfico
. Da equação do plano
isolamos
:
Agora calculamos as derivadas parciais:
Como são constantes, o fator da raiz fica simples:
Observação didática: sempre que o plano for de forma linear em
(como aqui), as derivadas parciais são constantes e a raiz vira uma constante, o que simplifica bastante a integral.
Passo 4
Aplicando a fórmula da Passo 2 com
e o fator
, a integral de superfície fica
Como
é constante, podemos factorá-la para fora da integral:
Aqui
e
é o quadrado
.
Passo 5
Calcular a integral dupla sobre o quadrado passo a passo:
Primeiro integramos em
:
Agora integramos esse resultado em
de
a
:
Portanto
. Voltando à integral de superfície: