4- Seja
a superfície lateral do cone
entre
e
. Calcule a integral de superfície do campo escalar
sobre
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície lateral do cone
entre
e
. O campo escalar é
. A pergunta é: calcular a integral de superfície da função escalar
sobre a superfície
, ou seja, avaliar
Informações relevantes:
- A superfície
é a lateral do cone que tem abertura de , com vértice na origem e cortada pelo plano . - Em pontos da superfície vale
e, portanto, na superfície . - O que se pede é a integral de superfície de uma função escalar (não um fluxo), ou seja
.
Passo 2
Escolha do método: como a superfície é dada como gráfico
(no ramo superior), é conveniente usar a fórmula para a área elementar de uma superfície dada por
:
onde
e
são as derivadas parciais de
e
é o elemento de área no plano
. Explicando essa fórmula de forma curta e intuitiva: se
é a parametrização pela projeção no plano
, então
é um vetor cuja magnitude é a área do paralelogramo gerado por
e
, e uma conta direta mostra que essa magnitude é
. Usamos essa fórmula porque reduz o problema a uma integral dupla no plano
, que é simples em coordenadas polares aqui.
Passo 3
Calcular
e
para
. Para
temos
Então
Portanto, para toda a superfície (exceto a origem, que é um conjunto de medida zero e não altera a integral),
Logo o elemento de área da superfície é simplesmente
Passo 4
Expressar a integral em coordenadas polares no plano
. Na superfície vale
em coordenadas polares
. O integrando é
, portanto sobre
temos
. O elemento de área no plano é
. Juntando tudo:
onde
é a projeção de
no plano
, isto é o disco com
e
(porque na superfície
e
).
Passo 5
Calcular a integral passo a passo. Primeiro escrevemos a integral separando constantes:
No integrando,
. Integrando em
:
Agora integrar em
(é só multiplicar por
):
Simplificando:
portanto
Passo 6
Resumo e pequena interpretação: a integral calculou a soma ponderada da função
sobre toda a lateral do cone de altura
. A constante
apareceu porque o elemento de área da superfície é
vezes o elemento de área da projeção no plano
(a inclinação do cone aumenta a área em relação à projeção).