4- Seja S a superfície lateral do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} entre z=0 e z=1. Calcule a integral de superfície do campo escalar f(x, y, z)=z+1 sobre S.

Passo 1

O enunciado dá a superfície lateral do cone \;z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\; entre \;z=0\; e \;z=1\;. O campo escalar é \;f(x,y,z)=z+1\;. A pergunta é: calcular a integral de superfície da função escalar f sobre a superfície S, ou seja, avaliar
\iint_{S} f(x,y,z)\,dS.
Informações relevantes:
  • A superfície S é a lateral do cone que tem abertura de 45^\circ, com vértice na origem e cortada pelo plano \;z=1\;.
  • Em pontos da superfície vale \;z=\sqrt{x^2+y^2}\; e, portanto, na superfície \;z\in[0,1]\;.
  • O que se pede é a integral de superfície de uma função escalar (não um fluxo), ou seja \iint_S f\,dS.

Passo 2

Escolha do método: como a superfície é dada como gráfico z=g(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} (no ramo superior), é conveniente usar a fórmula para a área elementar de uma superfície dada por z=g(x,y):
dS = \sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\;dA,
onde g_x e g_y são as derivadas parciais de g e dA é o elemento de área no plano xy. Explicando essa fórmula de forma curta e intuitiva: se \mathbf{r}(x,y)=(x,y,g(x,y)) é a parametrização pela projeção no plano xy, então
\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y
é um vetor cuja magnitude é a área do paralelogramo gerado por \mathbf{r}_x e \mathbf{r}_y, e uma conta direta mostra que essa magnitude é \sqrt{1+g_x^2+g_y^2}. Usamos essa fórmula porque reduz o problema a uma integral dupla no plano xy, que é simples em coordenadas polares aqui.

Passo 3

Calcular g_x e g_y para g(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}. Para (x,y)\neq(0,0) temos
g_x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\qquad g_y=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.
Então
g_x^2+g_y^2=\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}=1.
Portanto, para toda a superfície (exceto a origem, que é um conjunto de medida zero e não altera a integral),
\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Logo o elemento de área da superfície é simplesmente
dS=\sqrt{2}\;dA.

Passo 4

Expressar a integral em coordenadas polares no plano xy. Na superfície vale z=\sqrt{x^2+y^2}=r em coordenadas polares (r,\theta). O integrando é f(x,y,z)=z+1, portanto sobre S temos f=r+1. O elemento de área no plano é dA=r\,dr\,d\theta. Juntando tudo:
\iint_{S} f\,dS = \iint_{D} (r+1)\,\sqrt{2}\; r\,dr\,d\theta,
onde D é a projeção de S no plano xy, isto é o disco com 0\le r\le 1 e 0\le\theta\le 2\pi (porque na superfície z=r e z\le1\Rightarrow r\le1).

Passo 5

Calcular a integral passo a passo. Primeiro escrevemos a integral separando constantes:
\iint_{S} f\,dS = \sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} (r+1)\, r\,dr\,d\theta.
No integrando, (r+1)r=r^2+r. Integrando em r:
\int_{0}^{1} (r^2+r)\,dr = \left[\frac{r^3}{3}+\frac{r^2}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}.
Agora integrar em \theta (é só multiplicar por 2\pi):
\iint_{S} f\,dS = \sqrt{2}\cdot 2\pi \cdot \frac{5}{6} = 2\pi\sqrt{2}\cdot\frac{5}{6}.
Simplificando:
2\cdot\frac{5}{6}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3},
portanto
\iint_{S} f\,dS = \frac{5}{3}\pi\sqrt{2}.

Passo 6

Resumo e pequena interpretação: a integral calculou a soma ponderada da função z+1 sobre toda a lateral do cone de altura 1. A constante \sqrt{2} apareceu porque o elemento de área da superfície é \sqrt{2} vezes o elemento de área da projeção no plano xy (a inclinação do cone aumenta a área em relação à projeção).

Resposta

\dfrac{5}{3}\pi\sqrt{2}

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