2- Calcule
, onde
e
é a parte do plano
, acima do triângulo no plano
com vértices
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e a superfície
que é a parte do plano
situada acima do triângulo do plano
com vértices
.
A pergunta é: calcular .
A pergunta é: calcular
Informações relevantes fornecidas:
- A superfície
é o trecho do plano sobre o triângulo do plano com vértices . - A função a integrar sobre
é .
Passo 2
Transformar uma integral de superfície sobre uma superfície dada como gráfico
em uma integral dupla sobre a região projetada
no plano
.
Fórmula que usaremos (explicação didática): se a superfície é dada por
e
é a projeção no plano
, então
onde
é o elemento de área no plano
. Essa fórmula vem da ideia de aproximar a superfície por um pequeno paralelogramo gerado pelos vetores tangentes
e
; a área desse paralelogramo é o módulo do produto vetorial desses vetores, o que dá a raiz quadrada acima.
Portanto:
Passo 3
Escrever o plano como gráfico e calcular as derivadas parciais.
Da equação do plano
temos
logo definimos
.
As derivadas parciais são
Portanto o fator da área é
Passo 4
Substituir
na função
para obter o integrando sobre
.
Calculamos
Perceba a simplificação agradável: o
some.
Passo 5
Descrever a região
no plano
e montar a integral dupla.
O triângulo
com vértices
pode ser descrito por
Escolhendo integrar primeiro em
e depois em
, os limites são
e
.
Assim
Passo 6
Calcular a integral interna em
.
Como
não depende de
,
Então a integral fica
Passo 7
Desenvolver o produto e integrar em
.
Expandindo:
Integrando de
a
:
Fazendo em frações com denominador
:
Passo 8
Multiplicar pelo fator
obtido no Passo 3 para obter o valor final.
Portanto