2- Calcule \iint_{S} f(x, y, z) d s, onde f(x, y, z)=x+z e S é a parte do plano \pi: z+x+y=2, acima do triângulo no plano x y com vértices (0,0),(1,0),(0,1).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=x+z e a superfície S que é a parte do plano \pi: z+x+y=2 situada acima do triângulo do plano xy com vértices (0,0),(1,0),(0,1).
A pergunta é: calcular \iint_{S} f(x,y,z)\,d s.
Informações relevantes fornecidas:
  • A superfície S é o trecho do plano \pi sobre o triângulo D do plano xy com vértices (0,0),(1,0),(0,1).
  • A função a integrar sobre S é f(x,y,z)=x+z.

Passo 2

Transformar uma integral de superfície sobre uma superfície dada como gráfico z=g(x,y) em uma integral dupla sobre a região projetada D no plano xy.
Fórmula que usaremos (explicação didática): se a superfície é dada por z=g(x,y) e D é a projeção no plano xy, então
d s=\sqrt{1+\left(\frac{\partial g}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial g}{\partial y}\right)^{2}}\,dA,
onde dA é o elemento de área no plano xy. Essa fórmula vem da ideia de aproximar a superfície por um pequeno paralelogramo gerado pelos vetores tangentes \big(1,0,g_x\big) e \big(0,1,g_y\big); a área desse paralelogramo é o módulo do produto vetorial desses vetores, o que dá a raiz quadrada acima.
Portanto:
\iint_{S} f\,d s=\iint_{D} f\big(x,y,g(x,y)\big)\,\sqrt{1+g_x^{2}+g_y^{2}}\,dA.

Passo 3

Escrever o plano como gráfico e calcular as derivadas parciais.
Da equação do plano \pi temos
z=2-x-y,
logo definimos g(x,y)=2-x-y.
As derivadas parciais são
g_x=\frac{\partial}{\partial x}(2-x-y)=-1, \qquad g_y=\frac{\partial}{\partial y}(2-x-y)=-1.
Portanto o fator da área é
\sqrt{1+g_x^{2}+g_y^{2}}=\sqrt{1+(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}.

Passo 4

Substituir z=g(x,y) na função f para obter o integrando sobre D.
Calculamos
f\big(x,y,g(x,y)\big)=x+z=x+(2-x-y)=2-y.
Perceba a simplificação agradável: o x some.

Passo 5

Descrever a região D no plano xy e montar a integral dupla.
O triângulo D com vértices (0,0),(1,0),(0,1) pode ser descrito por
D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le1\}.
Escolhendo integrar primeiro em x e depois em y, os limites são 0\le x\le 1-y e 0\le y\le1.
Assim
\iint_{S} f\,d s=\iint_{D} (2-y)\,\sqrt{3}\,dA =\sqrt{3}\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{1-y} (2-y)\,dx\,dy.

Passo 6

Calcular a integral interna em x.
Como (2-y) não depende de x,
\int_{x=0}^{1-y} (2-y)\,dx=(2-y)\big[(1-y)-0\big]=(2-y)(1-y).
Então a integral fica
\iint_{S} f\,d s=\sqrt{3}\int_{0}^{1} (2-y)(1-y)\,dy.

Passo 7

Desenvolver o produto e integrar em y.
Expandindo:
(2-y)(1-y)=2-3y+y^{2}.
Integrando de 0 a 1:
\int_{0}^{1} (2-3y+y^{2})\,dy=\left[2y-\tfrac{3}{2}y^{2}+\tfrac{1}{3}y^{3}\right]_{0}^{1} =2-\tfrac{3}{2}+\tfrac{1}{3}.
Fazendo em frações com denominador 6:
2-\tfrac{3}{2}+\tfrac{1}{3}=\tfrac{12}{6}-\tfrac{9}{6}+\tfrac{2}{6}=\tfrac{5}{6}.

Passo 8

Multiplicar pelo fator \sqrt{3} obtido no Passo 3 para obter o valor final.
Portanto
\iint_{S} f\,d s=\sqrt{3}\cdot \tfrac{5}{6}=\tfrac{5\sqrt{3}}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{6}

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