Uma lâmina é delimitada pelas x=1, y=1 e pela circunferência x^{2}+y^{2}=1. Determine o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for \rho(x, y)=x y.

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa de uma lâmina limitada pelas retas x=1, y=1 e pela circunferência x^{2}+y^{2}=1, com densidade \rho(x,y)=xy. O conteúdo é cálculo de centro de massa bidimensional: precisamos calcular a massa
M=\iint_{D}\rho(x,y)\,dA
e os momentos
M_x=\iint_{D}x\,\rho(x,y)\,dA,\quad M_y=\iint_{D}y\,\rho(x,y)\,dA
para então aplicar
\bar x=\frac{M_x}{M},\quad \bar y=\frac{M_y}{M}.

Passo 2

Descrevemos a região D. Ela fica no primeiro quadrante, dentro do quadrado 0\le x\le1, 0\le y\le1, mas fora do quarto de círculo x^2+y^2\le1. Portanto, para y variando de 0 a 1, x varia de x=\sqrt{1-y^2} até x=1. Assim, a massa é
M=\int_{y=0}^{1}\int_{x=\sqrt{1-y^2}}^{1}xy\,dx\,dy.

Passo 3

Calculemos M:
\int_{x=\sqrt{1-y^2}}^{1}xy\,dx = y\int_{\sqrt{1-y^2}}^{1}x\,dx = y\Bigl[\frac{x^2}{2}\Bigr]_{\sqrt{1-y^2}}^{1} = y\Bigl(\frac{1}{2}-\frac{1-y^2}{2}\Bigr) = \frac{y^3}{2}.
Logo
M=\int_{0}^{1}\frac{y^3}{2}\,dy =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4} =\frac{1}{8}.

Passo 4

Calculemos o momento M_x=\iint x\,\rho\,dA=\iint x^2y\,dA:
\int_{x=\sqrt{1-y^2}}^{1}x^2y\,dx = y\Bigl[\frac{x^3}{3}\Bigr]_{\sqrt{1-y^2}}^{1} = y\Bigl(\frac{1}{3}-\frac{(1-y^2)^{3/2}}{3}\Bigr) =\frac{y}{3}-\frac{y\,(1-y^2)^{3/2}}{3}.
Integramos em y de 0 a 1:
M_x =\int_{0}^{1}\Bigl(\frac{y}{3}-\frac{y\,(1-y^2)^{3/2}}{3}\Bigr)dy =\frac{1}{3}\Bigl[\frac{y^2}{2}\Bigr]_{0}^{1} -\frac{1}{3}\int_{0}^{1}y(1-y^2)^{3/2}dy.
Fazendo t=1-y^2, obtém-se
\int_{0}^{1}y(1-y^2)^{3/2}dy =\frac12\int_{0}^{1}t^{3/2}dt =\frac12\cdot\frac{2}{5} =\frac{1}{5}.
Portanto
M_x =\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2} -\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5} =\frac{1}{6}-\frac{1}{15} =\frac{1}{10}.

Passo 5

Como a região e a densidade são simétricas em y=x, temos \bar x=\bar y. Calculamos
\bar x =\frac{M_x}{M} =\frac{\tfrac{1}{10}}{\tfrac{1}{8}} =\frac{8}{10} =\frac{4}{5}.
Logo \bar y=\tfrac{4}{5}.

Resposta

O centro de massa é \bigl(\tfrac{4}{5},\tfrac{4}{5}\bigr).

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