Uma lâmina é delimitada pelas
e pela circunferência
. Determine o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for
.
Passo 1
O enunciado pede o centro de massa de uma lâmina limitada pelas retas
,
e pela circunferência
, com densidade
. O conteúdo é cálculo de centro de massa bidimensional: precisamos calcular a massa
e os momentos
para então aplicar
Passo 2
Descrevemos a região
. Ela fica no primeiro quadrante, dentro do quadrado
,
, mas fora do quarto de círculo
. Portanto, para
variando de
a
,
varia de
até
Assim, a massa é
Passo 3
Calculemos
:
Logo
Passo 4
Calculemos o momento
:
Integramos em
de
a
:
Fazendo
, obtém-se
Portanto
Passo 5
Como a região e a densidade são simétricas em
, temos
. Calculamos
Logo
.
Resposta
O centro de massa é
.