Calcule a integral de superfície.
\iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d S,
S é formada pelo cilindro do Exercício 15, além dos círculos que compõem o fundo e o topo.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de superfície
\iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dS,
onde S é constituída pelo cilindro do Exercício 15 mais os dois círculos que fecham fundo e topo. O enunciado referiu-se ao “cilindro do Exercício 15” mas não trouxe aqui os parâmetros (raio e altura) desse cilindro. Como não posso inventar números, vou resolver o problema de forma geral, tomando:
  • R>0 como o raio do cilindro (e dos dois discos top/bottom);
  • h>0 como a altura do cilindro (distância entre os planos dos círculos), com o disco inferior em z=0 e o disco superior em z=h.
O objetivo é obter a integral em função de R e h.

Passo 2

Entendendo o que é a integral de superfície de uma função escalar. Para uma superfície S lisa, a integral
\iint_{S} f(x,y,z)\,dS
significa somar o valor f em cada ponto da superfície ponderado pela área infinitesimal dS dessa superfície. Métodos usuais: parametrizar cada parte da superfície, calcular o elemento de área dS via produto vetorial das derivadas da parametrização, e integrar.
Vou dividir S em três partes naturalmente:
  • S_{\text{lat}}: superfície lateral do cilindro (curva cilíndrica);
  • D_0: disco inferior (plano z=0, raio R);
  • D_h: disco superior (plano z=h, raio R).
A integral total é soma das integrais sobre essas três partes.

Passo 3

Cálculo sobre a superfície lateral S_{\text{lat}}.
Parametrização usual do cilindro de raio R:
\mathbf{r}(\theta,z)=\bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;z\bigr), \qquad 0\le \theta\le 2\pi,\; 0\le z\le h.
Calcular as derivadas parciais:
\mathbf{r}_\theta(\theta,z)=\bigl(-R\sin\theta,\;R\cos\theta,\;0\bigr), \qquad \mathbf{r}_z(\theta,z)=\bigl(0,\;0,\;1\bigr).
O produto vetorial tem magnitude (que dá o elemento de área):
\bigl\lVert \mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_z \bigr\rVert = \sqrt{(-R\sin\theta)^2+(R\cos\theta)^2} = R.
Portanto dS_{\text{lat}} = R\,d\theta\,dz.
Na superfície lateral temos x^{2}+y^{2}=R^{2}, então o integrando fica
x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}+z^{2}.
Montando a integral sobre S_{\text{lat}}:
I_{\text{lat}}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{h}\bigl(R^{2}+z^{2}\bigr)\,R\,dz\,d\theta.

Passo 4

Avaliação de I_{\text{lat}}.
Primeiro integrar em \theta (não depende de \theta), obtemos fator 2\pi:
I_{\text{lat}}=2\pi R \int_{0}^{h}\bigl(R^{2}+z^{2}\bigr)\,dz.
Calcule a integral em z:
\int_{0}^{h}\bigl(R^{2}+z^{2}\bigr)\,dz = R^{2}h + \frac{h^{3}}{3}.
Logo
I_{\text{lat}} = 2\pi R\left(R^{2}h + \frac{h^{3}}{3}\right) = 2\pi R^{3}h + \frac{2\pi}{3}R h^{3}.

Passo 5

Cálculo sobre o disco inferior D_{0} (plano z=0, raio R).
Nesse disco z=0, então o integrando é x^{2}+y^{2}+0^{2}=x^{2}+y^{2}.
Usa-se coordenadas polares no plano: x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;0\le r\le R,\;0\le\theta\le2\pi,
e o elemento de área planar é dA=r\,dr\,d\theta.
Assim
I_{0}=\iint_{D_{0}}(x^{2}+y^{2})\,dA =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R} r^{2}\,(r\,dr)\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R} r^{3}\,dr\,d\theta.
Calcule a integral:
\int_{0}^{R} r^{3}\,dr=\frac{R^{4}}{4},
então
I_{0}=2\pi\cdot\frac{R^{4}}{4}=\frac{\pi R^{4}}{2}.

Passo 6

Cálculo sobre o disco superior D_{h} (plano z=h, raio R).
Aqui z=h, então o integrando é x^{2}+y^{2}+h^{2}=r^{2}+h^{2} em coordenadas polares.
O elemento de área é novamente dA=r\,dr\,d\theta. Assim
I_{h}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R} \bigl(r^{2}+h^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta =2\pi\left(\int_{0}^{R} r^{3}\,dr + h^{2}\int_{0}^{R} r\,dr\right).
Calcule as integrais:
\int_{0}^{R} r^{3}\,dr=\frac{R^{4}}{4},\qquad \int_{0}^{R} r\,dr=\frac{R^{2}}{2}.
Então
I_{h}=2\pi\left(\frac{R^{4}}{4}+h^{2}\cdot\frac{R^{2}}{2}\right) =\frac{\pi R^{4}}{2} + \pi h^{2}R^{2}.

Passo 7

Somando as três contribuições obtém-se a integral total sobre S:
\iint_{S}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,dS = I_{\text{lat}} + I_{0} + I_{h}.
Substituindo os resultados anteriores:
I_{\text{total}} = \left(2\pi R^{3}h + \frac{2\pi}{3}R h^{3}\right) + \frac{\pi R^{4}}{2} + \left(\frac{\pi R^{4}}{2} + \pi h^{2}R^{2}\right).
Agrupando termos semelhantes:
I_{\text{total}} = \pi R^{4} + 2\pi R^{3}h + \pi R^{2}h^{2} + \frac{2\pi}{3}R h^{3}.

Resposta

\iint_{S}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,dS = \pi R^{4} + 2\pi R^{3}h + \pi R^{2}h^{2} + \frac{2\pi}{3}R h^{3},
onde R é o raio do cilindro e h é a sua altura.

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