Calcule a integral de superfície. \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d S, S é formada pelo cilindro do Exercício 15, além dos círculos que compõem o fundo e o topo.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de superfície
\iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dS,
onde S é constituída pelo cilindro do Exercício 15 mais os dois círculos que fecham fundo e topo. O enunciado referiu-se ao “cilindro do Exercício 15” mas não trouxe aqui os parâmetros (raio e altura) desse cilindro. Como não posso inventar números, vou resolver o problema de forma geral, tomando:
R>0 como o raio do cilindro (e dos dois discos top/bottom);
h>0 como a altura do cilindro (distância entre os planos dos círculos), com o disco inferior em z=0 e o disco superior em z=h.
O objetivo é obter a integral em função de R e h.
Passo 2
Entendendo o que é a integral de superfície de uma função escalar. Para uma superfície S lisa, a integral
\iint_{S} f(x,y,z)\,dS
significa somar o valor f em cada ponto da superfície ponderado pela área infinitesimal dS dessa superfície. Métodos usuais: parametrizar cada parte da superfície, calcular o elemento de área dS via produto vetorial das derivadas da parametrização, e integrar.
Vou dividir S em três partes naturalmente:
S_{\text{lat}}: superfície lateral do cilindro (curva cilíndrica);
D_0: disco inferior (plano z=0, raio R);
D_h: disco superior (plano z=h, raio R).
A integral total é soma das integrais sobre essas três partes.
Passo 3
Cálculo sobre a superfície lateral S_{\text{lat}}.
Parametrização usual do cilindro de raio R:
\mathbf{r}(\theta,z)=\bigl(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;z\bigr), \qquad 0\le \theta\le 2\pi,\; 0\le z\le h.
Cálculo sobre o disco inferior D_{0} (plano z=0, raio R).
Nesse disco z=0, então o integrando é x^{2}+y^{2}+0^{2}=x^{2}+y^{2}.
Usa-se coordenadas polares no plano: x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;0\le r\le R,\;0\le\theta\le2\pi,
e o elemento de área planar é dA=r\,dr\,d\theta.
Assim
Cálculo sobre o disco superior D_{h} (plano z=h, raio R).
Aqui z=h, então o integrando é x^{2}+y^{2}+h^{2}=r^{2}+h^{2} em coordenadas polares.
O elemento de área é novamente dA=r\,dr\,d\theta. Assim