(a) Dê uma expressão integral para o momento de inércia l_{\text {s }} em torno do eixo z de uma folha fina no formato da superfície S, se a função densidade é \rho.
(b) Determine o momento de inércia em torno do cixo z do funil do Exercício 36.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Fornecer uma expressão integral para o momento de inércia l_{\text{s}} em torno do eixo z de uma folha fina cuja forma é a superfície S, quando a densidade superficial é \rho.
  • (b) Determinar o momento de inércia em torno do eixo z do funil do Exercício 36.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • A superfície geométrica é chamada de S.
  • A densidade superficial (massa por unidade de área) é a função \rho definida sobre S.
  • O eixo de rotação é o eixo z.

Passo 2

O que é momento de inércia para uma superfície fina e por que integramos:
  • Conceito físico: o momento de inércia em relação a um eixo mede a resistência de um corpo a mudanças de rotação em torno desse eixo. Para uma pequena porção de massa dm afastada a uma distância r do eixo, a contribuição é r^{2}\,dm.
  • Para uma superfície fina S com densidade superficial \rho, uma pequena área dS tem massa dm=\rho\,dS.
  • Logo, somando (integrando) todas as contribuições r^{2}\,dm sobre S obtemos o momento de inércia total.

Passo 3

Fórmula geral e explicação das variáveis:
  • A distância r de um ponto (x,y,z)\in S ao eixo z é r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Assim a expressão integral geral para o momento de inércia em torno do eixo z é
l_{\text{s}}=\iint_{S} (x^{2}+y^{2})\,\rho\,dS.
  • Aqui:
    • \rho é a densidade superficial (pode depender do ponto em S);
    • dS é o elemento de área sobre a superfície S;
    • a integração percorre toda a superfície S.

Passo 4

Como avaliar dS na prática (duas maneiras úteis):
  • Se S for o gráfico de z=g(x,y) sobre uma região plana D no plano xy, então
dS=\sqrt{1+g_{x}^{2}+g_{y}^{2}}\;dx\,dy,
onde g_{x}=\partial g/\partial x e g_{y}=\partial g/\partial y. Nesse caso a fórmula fica
l_{\text{s}}=\iint_{D} (x^{2}+y^{2})\,\rho(x,y,g(x,y))\,\sqrt{1+g_{x}^{2}+g_{y}^{2}}\;dx\,dy.
  • Se S for dada por uma parametrização \mathbf{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) para (u,v) em um domínio D_{uv}, então
dS=\bigl\lVert \mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v}\bigr\rVert\,du\,dv
e
l_{\text{s}}=\iint_{D_{uv}} \bigl(x(u,v)^{2}+y(u,v)^{2}\bigr)\,\rho(u,v)\,\bigl\lVert \mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v}\bigr\rVert\,du\,dv.
  • Em ambas as fórmulas, explicitar a dependência da densidade \rho (se for função do ponto) é importante.

Passo 5

Caso muito comum: superfície de revolução (modelo de funil) — parametrização natural
  • Se o funil for obtido por rotação de uma curva geratriz R(z) (raio da seção circular em função da altura z), uma parametrização conveniente é
\mathbf{r}(\theta,z)=\bigl(R(z)\cos\theta,\;R(z)\sin\theta,\;z\bigr),
com \theta\in[0,2\pi] e z\in[z_{1},z_{2}] (intervalo de alturas do funil).
  • Cálculo de \mathbf{r}_{\theta} e \mathbf{r}_{z}:
\mathbf{r}_{\theta}=(-R(z)\sin\theta,\;R(z)\cos\theta,\;0), \qquad \mathbf{r}_{z}=(R'(z)\cos\theta,\;R'(z)\sin\theta,\;1).
  • Produto vetorial e norma (passo a passo):
\mathbf{r}_{\theta}\times\mathbf{r}_{z} = \bigl(R(z)\cos\theta,\;R(z)\sin\theta,\; -R(z)R'(z)\bigr)
(o cálculo componente a componente pode ser feito expandindo o determinante), e a norma dá
\bigl\lVert \mathbf{r}_{\theta}\times\mathbf{r}_{z}\bigr\rVert = R(z)\,\sqrt{1+R'(z)^{2}}.
  • Observação: a coordenada radial x^{2}+y^{2} no ponto é R(z)^{2}.

Passo 6

Integral do momento de inércia para o funil (expressão em \,z,\theta\, )
  • Com as observações acima, o elemento de massa é dm=\rho\,dS=\rho(\theta,z)\,R(z)\sqrt{1+R'(z)^{2}}\,d\theta\,dz.
  • A contribuição ao momento é r^{2}\,dm=R(z)^{2}\,dm.
  • Portanto a expressão integral do momento de inércia em torno do eixo z para esse funil é
l_{\text{s}}=\int_{z_{1}}^{z_{2}}\int_{0}^{2\pi} R(z)^{2}\,\rho(\theta,z)\,R(z)\sqrt{1+R'(z)^{2}}\;d\theta\,dz.
  • Se a densidade for uniforme em \theta (isto é, \rho depende só de z ou é constante), a integral em \theta simplifica para um fator 2\pi:
l_{\text{s}}=2\pi\int_{z_{1}}^{z_{2}} \rho(z)\,R(z)^{3}\sqrt{1+R'(z)^{2}}\;dz,
e no caso especial de densidade superficial constante \rho temos
l_{\text{s}}=2\pi\rho\int_{z_{1}}^{z_{2}} R(z)^{3}\sqrt{1+R'(z)^{2}}\;dz.

Passo 7

Exemplo concreto (para fixar a técnica): funil cônico reto
  • Suponha o funil seja um cone reto gerado por R(z)=\dfrac{R_{0}}{h}\,z com z\in[0,h] (raio R_{0} na base, vértice em z=0), e densidade superficial constante \rho.
  • Então R'(z)=\dfrac{R_{0}}{h} (constante) e \sqrt{1+R'(z)^{2}}=\sqrt{1+\bigl(\tfrac{R_{0}}{h}\bigr)^{2}}.
  • Substituindo na fórmula:
l_{\text{s}}=2\pi\rho\sqrt{1+\bigl(\tfrac{R_{0}}{h}\bigr)^{2}}\int_{0}^{h} \bigl(\tfrac{R_{0}}{h}z\bigr)^{3}\;dz.
  • Calcule a integral:
\int_{0}^{h} \bigl(\tfrac{R_{0}}{h}z\bigr)^{3}\;dz=\tfrac{R_{0}^{3}}{h^{3}}\int_{0}^{h} z^{3}\;dz=\tfrac{R_{0}^{3}}{h^{3}}\cdot\tfrac{h^{4}}{4}=\tfrac{R_{0}^{3}h}{4}.
  • Portanto, para o cone:
l_{\text{s}}=\dfrac{\pi\rho}{2}\,R_{0}^{3}\,h\;\sqrt{1+\bigl(\tfrac{R_{0}}{h}\bigr)^{2}}.
  • Comentário: este exemplo mostra como integrar quando R(z) é simples. Para outras curvas R(z) procede-se do mesmo modo.

Passo 8

Sobre o item (b) pedido explicitamente (funil do Exercício 36)
  • Não é possível fornecer um valor numérico ou uma expressão explícita avaliada para o item (b) porque o enunciado do Exercício 36 (geometria do funil: função R(z), limites z_{1},z_{2}, e possíveis dependências da densidade \rho) não foi fornecido aqui.
  • O que se pode dar, sem mais dados, é a expressão integral que deve ser usada para calcular o momento de inércia do funil (como mostrado no Passo 6). Para obter o resultado numérico é necessário conhecer a função R(z), o intervalo [z_{1},z_{2}] e a função densidade \rho(\theta,z) (ou assumir \rho=constante).

Resposta

(a) \displaystyle l_{\text{s}}=\iint_{S} (x^{2}+y^{2})\,\rho\,dS.
(b) Não é possível determinar numericamente porque o Exercício 36 (a curva geratriz R(z), os limites z_{1},z_{2} e a densidade \rho) não foi fornecido; a expressão integral do momento de inércia para um funil de revolução gerado por R(z) é
\displaystyle l_{\text{s}}=\int_{z_{1}}^{z_{2}}\int_{0}^{2\pi} R(z)^{2}\,\rho(\theta,z)\,R(z)\sqrt{1+R'(z)^{2}}\;d\theta\,dz
e, se \rho depender apenas de z (ou for constante),
\displaystyle l_{\text{s}}=2\pi\int_{z_{1}}^{z_{2}} \rho(z)\,R(z)^{3}\sqrt{1+R'(z)^{2}}\;dz.

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