(a) Dê uma expressão integral para o momento de inércia l_{\text {s }} em torno do eixo z de uma folha fina no formato da superfície S, se a função densidade é \rho.
(b) Determine o momento de inércia em torno do cixo z do funil do Exercício 36.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Fornecer uma expressão integral para o momento de inércia l_{\text{s}} em torno do eixo z de uma folha fina cuja forma é a superfície S, quando a densidade superficial é \rho.
(b) Determinar o momento de inércia em torno do eixo z do funil do Exercício 36.
Informações fornecidas pelo enunciado:
A superfície geométrica é chamada de S.
A densidade superficial (massa por unidade de área) é a função \rho definida sobre S.
O eixo de rotação é o eixo z.
Passo 2
O que é momento de inércia para uma superfície fina e por que integramos:
Conceito físico: o momento de inércia em relação a um eixo mede a resistência de um corpo a mudanças de rotação em torno desse eixo. Para uma pequena porção de massa dm afastada a uma distância r do eixo, a contribuição é r^{2}\,dm.
Para uma superfície fina S com densidade superficial \rho, uma pequena área dS tem massa dm=\rho\,dS.
Logo, somando (integrando) todas as contribuições r^{2}\,dm sobre S obtemos o momento de inércia total.
Passo 3
Fórmula geral e explicação das variáveis:
A distância r de um ponto (x,y,z)\in S ao eixo z é r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Assim a expressão integral geral para o momento de inércia em torno do eixo z é
l_{\text{s}}=\iint_{S} (x^{2}+y^{2})\,\rho\,dS.
Aqui:
\rho é a densidade superficial (pode depender do ponto em S);
dS é o elemento de área sobre a superfície S;
a integração percorre toda a superfície S.
Passo 4
Como avaliar dS na prática (duas maneiras úteis):
Se S for o gráfico de z=g(x,y) sobre uma região plana D no plano xy, então
dS=\sqrt{1+g_{x}^{2}+g_{y}^{2}}\;dx\,dy,
onde g_{x}=\partial g/\partial x e g_{y}=\partial g/\partial y. Nesse caso a fórmula fica
Exemplo concreto (para fixar a técnica): funil cônico reto
Suponha o funil seja um cone reto gerado por R(z)=\dfrac{R_{0}}{h}\,z com z\in[0,h] (raio R_{0} na base, vértice em z=0), e densidade superficial constante \rho.
Então R'(z)=\dfrac{R_{0}}{h} (constante) e \sqrt{1+R'(z)^{2}}=\sqrt{1+\bigl(\tfrac{R_{0}}{h}\bigr)^{2}}.
Comentário: este exemplo mostra como integrar quando R(z) é simples. Para outras curvas R(z) procede-se do mesmo modo.
Passo 8
Sobre o item (b) pedido explicitamente (funil do Exercício 36)
Não é possível fornecer um valor numérico ou uma expressão explícita avaliada para o item (b) porque o enunciado do Exercício 36 (geometria do funil: função R(z), limites z_{1},z_{2}, e possíveis dependências da densidade \rho) não foi fornecido aqui.
O que se pode dar, sem mais dados, é a expressão integral que deve ser usada para calcular o momento de inércia do funil (como mostrado no Passo 6). Para obter o resultado numérico é necessário conhecer a função R(z), o intervalo [z_{1},z_{2}] e a função densidade \rho(\theta,z) (ou assumir \rho=constante).
(b) Não é possível determinar numericamente porque o Exercício 36 (a curva geratriz R(z), os limites z_{1},z_{2} e a densidade \rho) não foi fornecido; a expressão integral do momento de inércia para um funil de revolução gerado por R(z) é