Calcule a integral de superfície \iint_{S} f d S, onde a superfície S e a função escalar são dados por:
f(x, y, z)=y e S está parametrizada por \sigma(u, v)=(u v, u+v, u-v), u^{2}+v^{2} \leqslant 1.

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície de uma função escalar \displaystyle \iint_{S} f\,dS
onde f(x,y,z)=y e a superfície S está parametrizada por \displaystyle \sigma(u,v)=(u\,v,\;u+v,\;u-v),
com \;u^{2}+v^{2}\le1.
O conteúdo é integral de superfície de função escalar, e vamos usar a fórmula
\iint_{S}f\,dS \;=\;\iint_{D} f\bigl(\sigma(u,v)\bigr)\,\bigl\|\sigma_{u}\times\sigma_{v}\bigr\|\;dA,
onde D=\{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le1\}.

Passo 2

Substituímos na função f usando a parametrização:
f\bigl(\sigma(u,v)\bigr) = y(\sigma(u,v)) = u+v.

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes e o produto vetorial:
\sigma_{u}=(v,\;1,\;1), \qquad \sigma_{v}=(u,\;1,\;-1).
Logo,
\sigma_{u}\times\sigma_{v} =(-2,\;u+v,\;v-u),
e seu módulo é
\bigl\|\sigma_{u}\times\sigma_{v}\bigr\| =\sqrt{(-2)^{2}+(u+v)^{2}+(v-u)^{2}} =\sqrt{4+2(u^{2}+v^{2})}.

Passo 4

Montamos a integral em coordenadas (u,v):
\iint_{S}f\,dS =\iint_{D}(u+v)\,\sqrt{4+2(u^{2}+v^{2})}\;dA,
com D sendo o disco u^{2}+v^{2}\le1.
Como a função (u+v)\,\sqrt{4+2(u^{2}+v^{2})} é ímpar em u e em v sobre o disco simétrico, cada parte se anula:
\iint_{D}u\,\sqrt{4+2r^{2}}\;dA=0, \quad \iint_{D}v\,\sqrt{4+2r^{2}}\;dA=0.
Portanto a integral total vale zero.

Resposta

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