Calcule
\oint_{C} \frac{-y^{3} d x+x y^{2} d y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}
onde C é a elipse x^{2}+4 y^{2}=4 orientada no sentido anti-horário. Note que não se aplica o teorema de Green. (Sugestão: Use o teorema de Green com furos)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
\oint_{C}\frac{-y^{3}\,dx + x\,y^{2}\,dy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}
em que C é a elipse x^{2}+4y^{2}=4 orientada no sentido anti-horário. Como o campo
\mathbf{F}(x,y)=\Bigl(M,N\Bigr) \quad\text{com}\quad M=\frac{-y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}, \quad N=\frac{x\,y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}
é singular na origem, não podemos usar Green diretamente. A ideia é aplicar o teorema de Green num anel formado pela região interna à elipse menos um pequeno disco de raio \varepsilon centrado na origem.

Passo 2

Vamos verificar o “rotacional”
\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}.
Cálculo rápido mostra que ambas as derivadas são iguais a
\frac{y^{2}\,(y^{2}-3x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{3}},
logo
\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}=0
em toda parte fora da origem. Pelo teorema de Green num domínio com furo, temos
\oint_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} \;+\; \oint_{C_{\varepsilon}} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} \;=\; \iint_{\text{anel}} \Bigl(\tfrac{\partial N}{\partial x}-\tfrac{\partial M}{\partial y}\Bigr) \,dA \;=\;0,
onde C_{\varepsilon} é o círculo de raio \varepsilon orientado no sentido horário.

Passo 3

Da igualdade acima segue
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =-\, \oint_{C_{\varepsilon}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
mas como em C_{\varepsilon} adotamos orientação horário, inverte-se o sinal se quisermos a orientação anti-horário. Portanto
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\oint_{C_{\varepsilon}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
com C_{\varepsilon} agora percorrido no sentido anti-horário.

Passo 4

Parametrizamos o pequeno círculo por
x=\varepsilon\cos t,\quad y=\varepsilon\sin t, \quad t\in[0,2\pi].
Então dx=-\varepsilon\sin t\,dt, dy=\varepsilon\cos t\,dt e x^{2}+y^{2}=\varepsilon^{2}. No numerador de \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} aparece
-y^{3}dx + x\,y^{2}dy =-\bigl(\varepsilon\sin t\bigr)^{3}(-\varepsilon\sin t\,dt) +\bigl(\varepsilon\cos t\bigr)\bigl(\varepsilon\sin t\bigr)^{2}(\varepsilon\cos t\,dt) =\varepsilon^{4}\sin^{2}t\,dt.
O denominador é \varepsilon^{4}, então o integrando fica \sin^{2}t. Assim
\oint_{C_{\varepsilon}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\,dt =\pi.

Resposta

\pi

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