Seja f: K \rightarrow \mathbb{R} de classe C^{1} no compacto K com fronteira bem comportada e interior não vazio. Mostre que a área da superfície z=f(x, y) (isto é, da superfície ? dada por x=u, y=v e z=f(u, v) ) é dada pela fórmula:
\iint_{K} \sqrt{1+\left(\mathrm{f}_{x}\right)^{2}+\left(\mathrm{f}_{y}\right)^{2}} \mathrm{~d} A
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para a superfície parametrizada por
r(u,v) = \bigl(u,\;v,\;f(u,v)\bigr),
com (u,v) variando em um compacto K\subset\mathbb{R}^2 e f\in C^1(K), a área dessa superfície é