1. Seja f: K \rightarrow \mathbb{R} de classe C^{1} no compacto K com fronteira bem comportada e interior não vazio. Mostre que a área da superfície z=f(x, y) (isto é, da superfície ? dada por x=u, y=v e z=f(u, v) ) é dada pela fórmula:
\iint_{K} \sqrt{1+\left(\mathrm{f}_{x}\right)^{2}+\left(\mathrm{f}_{y}\right)^{2}} \mathrm{~d} A

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a superfície parametrizada por
r(u,v) = \bigl(u,\;v,\;f(u,v)\bigr),
com (u,v) variando em um compacto K\subset\mathbb{R}^2 e f\in C^1(K), a área dessa superfície é
\iint_{K}\sqrt{1+\bigl(f_x(u,v)\bigr)^{2}+\bigl(f_y(u,v)\bigr)^{2}}\;dA.
O conteúdo é área de superfície paramétrica, e vamos usar a definição de área via produto vetorial das derivadas parciais.

Passo 2

Como f é C^1, as derivadas parciais f_x e f_y existem e são contínuas em K. Definimos a parametrização
r(u,v) = \bigl(x(u,v),\,y(u,v),\,z(u,v)\bigr) = \bigl(u,\,v,\,f(u,v)\bigr).
Pela teoria, a área da superfície é
\iint_{K}\bigl\|\,r_u(u,v)\times r_v(u,v)\bigr\|\;du\,dv.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de r:
r_u(u,v) = \bigl(1,\;0,\;f_x(u,v)\bigr), \quad r_v(u,v) = \bigl(0,\;1,\;f_y(u,v)\bigr).
Agora fazemos o produto vetorial:
r_u\times r_v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 0 & f_x\\\\ 0 & 1 & f_y \end{vmatrix} = \bigl(-f_x,\;-f_y,\;1\bigr).

Passo 4

A norma do vetor acima é
\bigl\|\,r_u\times r_v\bigr\| = \sqrt{\bigl(-f_x\bigr)^{2}+\bigl(-f_y\bigr)^{2}+1^{2}} = \sqrt{1 + \bigl(f_x(u,v)\bigr)^{2} + \bigl(f_y(u,v)\bigr)^{2}}.
Como f_x e f_y são contínuas em K, essa função é integrável sobre K.

Passo 5

Substituindo na fórmula de área de superfície paramétrica, obtemos
\text{Área}(S) = \iint_{K}\bigl\|\,r_u\times r_v\bigr\|\;du\,dv = \iint_{K} \sqrt{1 + \bigl(f_x(u,v)\bigr)^{2} + \bigl(f_y(u,v)\bigr)^{2}} \;dA.Á

Resposta

\boxed{ \iint_{K}\sqrt{1+\bigl(f_x(x,y)\bigr)^{2}+\bigl(f_y(x,y)\bigr)^{2}}\;dA. }

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