Seja C: x=f(t), y=0, z=g(t), a \leqslant t \leqslant b uma curva de classe C^{1} no plano x z. Considere a superfície de revolução
\sigma(t, \theta)=(f(t) \cos \theta, f(t) \operatorname{sen} \theta, g(t)), \operatorname{com} a \leqslant t \leqslant b, 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi .
Estabeleça uma fórmula para o cálculo da área da superfície.

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva de revolução C no plano xz, parametrizada por
x=f(t),\quad y=0,\quad z=g(t),\quad a\le t\le b,
e define a superfície de revolução
\sigma(t,\theta)=\bigl(f(t)\cos\theta,\;f(t)\sin\theta,\;g(t)\bigr), \quad a\le t\le b,\;0\le\theta\le2\pi.
O objetivo é usar a teoria de área de superfície paramétrica, que diz
\text{Área}=\iint_{D}\bigl\|\sigma_{t}\times\sigma_{\theta}\bigr\|\,dtd\theta.Á

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de \sigma:
\sigma_{t}(t,\theta) =\Bigl(f'(t)\cos\theta,\;f'(t)\sin\theta,\;g'(t)\Bigr),
\sigma_{\theta}(t,\theta) =\Bigl(-f(t)\sin\theta,\;f(t)\cos\theta,\;0\Bigr).

Passo 3

Agora formamos o produto vetorial e sua norma.
\sigma_{t}\times\sigma_{\theta} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ f'\cos\theta & f'\sin\theta & g'\\\\ -\,f\sin\theta & f\cos\theta & 0 \end{vmatrix} =\bigl(-g'f\cos\theta,\;-g'f\sin\theta,\;f\,f'\bigr).
Como \cos^2\theta+\sin^2\theta=1,
\bigl\|\sigma_{t}\times\sigma_{\theta}\bigr\| =\sqrt{(g'f)^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+(f\,f')^2} =f(t)\,\sqrt{\bigl(f'(t)\bigr)^2+\bigl(g'(t)\bigr)^2}.

Passo 4

Substituindo na integral de área:
\text{Área} =\int_{t=a}^{b}\int_{\theta=0}^{2\pi} f(t)\,\sqrt{\bigl(f'(t)\bigr)^2+\bigl(g'(t)\bigr)^2}\;d\theta\,dt =\Bigl(\int_{0}^{2\pi}d\theta\Bigr) \int_{a}^{b}f(t)\,\sqrt{\bigl(f'(t)\bigr)^2+\bigl(g'(t)\bigr)^2}\,dt.Á
Como \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi, segue:

Resposta

\boxed{ \text{Área}=2\pi\int_{a}^{b}f(t)\,\sqrt{\bigl(f'(t)\bigr)^2+\bigl(g'(t)\bigr)^2}\;dt }.Á

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