6- Calcule a integral de superfície \iint_{S} f(x, y, z) d s, onde f(x, y, z)= x^{2}+y^{2} e S é a interseção do gráfico de g(x, y)=1-x^{2}-y^{2} com o \operatorname{disco} x^{2}+y^{2} \leq 1.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A função a integrar é f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}.
  • A superfície S é a interseção do gráfico de g(x,y)=1-x^{2}-y^{2} com o disco \;x^{2}+y^{2}\le 1.
  • O que se pede: calcular a integral de superfície \displaystyle \iint_{S} f(x,y,z)\,d s.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • A superfície pode ser vista como o gráfico z=g(x,y) sobre a região projetada no plano xy, que é o disco D=\{(x,y):x^{2}+y^{2}\le 1\}.
  • Em S vale z=1-x^{2}-y^{2}, logo ao integrar sobre S podemos substituir z por g(x,y) quando necessário.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicação didática): se uma superfície S é o gráfico de z=g(x,y) sobre uma região D no plano xy, então a integral de superfície de uma função F(x,y,z) sobre S é dada por
\iint_{S} F(x,y,z)\,d s \;=\; \iint_{D} F\big(x,y,g(x,y)\big)\,\sqrt{1+g_x(x,y)^2+g_y(x,y)^2}\,dA.
Por que isso é verdade (ideia intuitiva e rápida): parametrizamos a superfície por \mathbf{r}(x,y)=(x,y,g(x,y)). As derivadas parciais são \mathbf{r}_x=(1,0,g_x) e \mathbf{r}_y=(0,1,g_y). O elemento de superfície é \lVert \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y\rVert\,dA, e \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y=(-g_x,-g_y,1) cuja norma é \sqrt{1+g_x^2+g_y^2}. Então d s=\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,dA. Essa fórmula é padrão e permite reduzir a integral de superfície a uma integral dupla no plano.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
  • Substituímos F(x,y,z)=f(x,y,z)=x^{2}+y^{2} por F(x,y,g(x,y))=x^{2}+y^{2} (note que f não depende de z aqui, então fica igual).
  • Calculamos as derivadas parciais de g(x,y)=1-x^{2}-y^{2}:
g_x(x,y) = -2x,\qquad g_y(x,y)=-2y.
  • Assim o fator da raiz fica
\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}=\sqrt{1+(-2x)^2+(-2y)^2}=\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}.
Portanto a integral de superfície é
\iint_{S} (x^{2}+y^{2})\,d s \;=\; \iint_{D} (x^{2}+y^{2})\,\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}\,dA,
onde D=\{(x,y):x^{2}+y^{2}\le 1\}.

Passo 4

É natural passar para coordenadas polares, porque D é um disco e as expressões envolvem x^{2}+y^{2}.
  • Em coordenadas polares usamos
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad dA=r\,dr\,d\theta.
  • Note que x^{2}+y^{2}=r^{2} e 1+4x^{2}+4y^{2}=1+4r^{2}.
Substituindo, a integral fica
\iint_{S} (x^{2}+y^{2})\,d s \;=\; \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{2}\,\sqrt{1+4r^{2}}\; r\,dr\,d\theta
ou seja
\iint_{S} (x^{2}+y^{2})\,d s \;=\; \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{3}\,\sqrt{1+4r^{2}}\;dr\,d\theta.

Passo 5

Vamos calcular a integral radial
I_r=\int_{0}^{1} r^{3}\,\sqrt{1+4r^{2}}\;dr.
Fazemos a substituição conveniente
u=1+4r^{2}\quad\Rightarrow\quad du=8r\,dr\quad\Rightarrow\quad r\,dr=\frac{du}{8}.
Também r^{2}=\dfrac{u-1}{4}. Então
r^{3}\,dr = r^{2}\cdot r\,dr = \frac{u-1}{4}\cdot\frac{du}{8}=\frac{u-1}{32}\,du.
O limite quando r=0 u=1 e quando r=1 u=5. Portanto
I_r=\int_{u=1}^{5} \frac{u-1}{32}\,\sqrt{u}\,du = \frac{1}{32}\int_{1}^{5}\big(u^{3/2}-u^{1/2}\big)\,du.

Passo 6

Calculemos a primitiva e avaliemos:
\int u^{3/2}\,du=\frac{2}{5}u^{5/2},\qquad \int u^{1/2}\,du=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Assim
I_r=\frac{1}{32}\left[\frac{2}{5}u^{5/2}-\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{5}.
Fatorando 2 em comum:
I_r=\frac{1}{16}\left[\frac{1}{5}u^{5/2}-\frac{1}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{5}.
Agora avaliamos em u=5 e u=1:
u=5:\quad u^{1/2}=\sqrt{5},\quad u^{3/2}=5\sqrt{5},\quad u^{5/2}=25\sqrt{5}.
Logo
\left[\frac{1}{5}u^{5/2}-\frac{1}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{5} = \left(\frac{1}{5}\cdot 25\sqrt{5}-\frac{1}{3}\cdot 5\sqrt{5}\right) - \left(\frac{1}{5}-\frac{1}{3}\right).
Calcule cada parte:
\frac{1}{5}\cdot 25\sqrt{5}=5\sqrt{5},\qquad \frac{1}{3}\cdot 5\sqrt{5}=\frac{5}{3}\sqrt{5},
portanto a parte com \sqrt{5} é
5\sqrt{5}-\frac{5}{3}\sqrt{5}=\frac{10}{3}\sqrt{5}.
E a parte numérica é
\frac{1}{5}-\frac{1}{3}=-\frac{2}{15},
então subtrair isso dá +\frac{2}{15}. Assim
I_r=\frac{1}{16}\left(\frac{10}{3}\sqrt{5}+\frac{2}{15}\right).
Colocando em uma forma simplificada:
I_r=\frac{25\sqrt{5}+1}{120}.

Passo 7

Voltando à integral completa, lembrando do fator angular:
\iint_{S} (x^{2}+y^{2})\,d s \;=\; \int_{0}^{2\pi} \! d\theta \;\cdot\; I_r = 2\pi \cdot I_r.
Substituindo I_r:
\iint_{S} (x^{2}+y^{2})\,d s \;=\; 2\pi\cdot \frac{25\sqrt{5}+1}{120} = \frac{\pi\big(25\sqrt{5}+1\big)}{60}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi\big(25\sqrt{5}+1\big)}{60}

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