6- Calcule a integral de superfície
, onde
e
é a interseção do gráfico de
com o
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A função a integrar é
. - A superfície
é a interseção do gráfico de com o disco . - O que se pede: calcular a integral de superfície
.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
- A superfície pode ser vista como o gráfico
sobre a região projetada no plano , que é o disco . - Em
vale , logo ao integrar sobre podemos substituir por quando necessário.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicação didática): se uma superfície
é o gráfico de
sobre uma região
no plano
, então a integral de superfície de uma função
sobre
é dada por
Por que isso é verdade (ideia intuitiva e rápida): parametrizamos a superfície por
. As derivadas parciais são
e
. O elemento de superfície é
, e
cuja norma é
. Então
. Essa fórmula é padrão e permite reduzir a integral de superfície a uma integral dupla no plano.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
- Substituímos
por (note que não depende de aqui, então fica igual). - Calculamos as derivadas parciais de
:
- Assim o fator da raiz fica
Portanto a integral de superfície é
onde
.
Passo 4
É natural passar para coordenadas polares, porque
é um disco e as expressões envolvem
.
- Em coordenadas polares usamos
- Note que
e .
Substituindo, a integral fica
ou seja
Passo 5
Vamos calcular a integral radial
Fazemos a substituição conveniente
Também
. Então
O limite quando
dá
e quando
dá
. Portanto
Passo 6
Calculemos a primitiva e avaliemos:
Assim
Fatorando
em comum:
Agora avaliamos em
e
:
Logo
Calcule cada parte:
portanto a parte com
é
E a parte numérica é
então subtrair isso dá
. Assim
Colocando em uma forma simplificada:
Passo 7
Voltando à integral completa, lembrando do fator angular:
Substituindo
: