5- Considere a superfície plana S=1+2 x-y, sobre o retângulo R=\left\{(x, y) \in R^{2} ; 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 2\right\}. Calcule \iint_{S} f(x, y, z) d s, onde f(x, y, z)=x+2 y+z.

Passo 1

Liste clara do que o enunciado dá e do que pede.
  • Superfície plana S é dada pela equação
z = 1 + 2x - y.
  • Domínio no plano xy é o retângulo
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : 0 \le x \le 1,\\\ 0 \le y \le 2\}.
  • Função a integrar sobre a superfície é
f(x,y,z)=x+2y+z.
  • Pedido: calcular a integral de superfície
\iint_{S} f(x,y,z)\,dS.

Passo 2

Qual fórmula usar e por que (aula curta).
Quando a superfície S está dada como gráfico de uma função z=g(x,y) sobre um domínio R no plano xy, a integral de superfície de uma função escalar f é convertida em integral dupla sobre R pela fórmula
\iint_{S} f(x,y,z)\,dS = \iint_{R} f\big(x,y,g(x,y)\big)\,\sqrt{1 + \big(g_x(x,y)\big)^2 + \big(g_y(x,y)\big)^2}\,dA.
Explicando os símbolos:
  • g_x e g_y são as derivadas parciais de g em relação a x e y;
  • dA é o elemento de área no plano xy (aqui dA=dx\,dy ou dy\,dx);
  • o fator \sqrt{1+g_x^2+g_y^2} aparece porque dS (área na superfície) é maior que dA quando a superfície está inclinada — esse fator é a norma do vetor ( -g_x,-g_y,1) que dá a inclinação.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: identifique g, calcule g_x e g_y.
Defina
g(x,y)=1+2x-y.
As derivadas parciais são
g_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(1+2x-y)=2, \qquad g_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(1+2x-y)=-1.
Portanto o fator de correção da área é
\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}=\sqrt{1+2^2+(-1)^2}=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}.
Observação: esse fator é constante porque a superfície é plana (derivadas parciais constantes).

Passo 4

Substitua z=g(x,y) em f para obter a função que integraremos sobre R.
Temos
f\big(x,y,g(x,y)\big)=x+2y+g(x,y)=x+2y+(1+2x-y).
Agrupando termos,
f\big(x,y,g(x,y)\big)=3x + y + 1.

Passo 5

Montar a integral dupla sobre R usando que \sqrt{6} é constante.
Pela fórmula do Passo 2,
\iint_{S} f\,dS = \iint_{R} \big(3x+y+1\big)\,\sqrt{6}\,dA.
Como \sqrt{6} é constante, fica
\iint_{S} f\,dS = \sqrt{6}\iint_{R} \big(3x+y+1\big)\,dA.
O domínio R tem 0\le x\le1 e 0\le y\le2, então escolhemos dA=dy\,dx (pode-se escolher a ordem oposta também). Assim
\iint_{R} \big(3x+y+1\big)\,dA = \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{2} \big(3x+y+1\big)\,dy\,dx.

Passo 6

Calcule a integral interna em y.
Para um x fixo,
\int_{y=0}^{2} \big(3x+y+1\big)\,dy = \int_{0}^{2} (3x+1)\,dy + \int_{0}^{2} y\,dy.
Calcule cada termo:
\int_{0}^{2} (3x+1)\,dy = (3x+1)\big[y\big]_{0}^{2} = (3x+1)\cdot 2 = 6x+2,
\int_{0}^{2} y\,dy = \left[\tfrac{1}{2}y^{2}\right]_{0}^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 4 = 2.
Somando,
\int_{0}^{2} (3x+y+1)\,dy = (6x+2)+2 = 6x+4.

Passo 7

Calcule a integral externa em x.
Agora
\int_{x=0}^{1} (6x+4)\,dx = \left[3x^{2}+4x\right]_{0}^{1} = 3\cdot 1^{2} + 4\cdot 1 - 0 = 3+4 = 7.
Portanto
\iint_{R} \big(3x+y+1\big)\,dA = 7.

Passo 8

Multiplique pelo fator \sqrt{6} e conclua.
Voltando à expressão do Passo 5,
\iint_{S} f\,dS = \sqrt{6}\cdot 7 = 7\sqrt{6}.

Resposta

7\sqrt{6}

Exercícios relacionados