5- Considere a superfície plana
, sobre o retângulo
. Calcule
, onde
.
Passo 1
Liste clara do que o enunciado dá e do que pede.
- Superfície plana
é dada pela equação
- Domínio no plano
é o retângulo
- Função a integrar sobre a superfície é
- Pedido: calcular a integral de superfície
Passo 2
Qual fórmula usar e por que (aula curta).
Quando a superfície
está dada como gráfico de uma função
sobre um domínio
no plano
, a integral de superfície de uma função escalar
é convertida em integral dupla sobre
pela fórmula
Explicando os símbolos:
-
e são as derivadas parciais de em relação a e ; -
é o elemento de área no plano (aqui ou ); - o fator
aparece porque (área na superfície) é maior que quando a superfície está inclinada — esse fator é a norma do vetor que dá a inclinação.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso: identifique
, calcule
e
.
Defina
As derivadas parciais são
Portanto o fator de correção da área é
Observação: esse fator é constante porque a superfície é plana (derivadas parciais constantes).
Passo 4
Substitua
em
para obter a função que integraremos sobre
.
Temos
Agrupando termos,
Passo 5
Montar a integral dupla sobre
usando que
é constante.
Pela fórmula do Passo 2,
Como
é constante, fica
O domínio
tem
e
, então escolhemos
(pode-se escolher a ordem oposta também). Assim
Passo 6
Calcule a integral interna em
.
Para um
fixo,
Calcule cada termo:
Somando,
Passo 7
Calcule a integral externa em
.
Agora
Portanto
Passo 8
Multiplique pelo fator
e conclua.
Voltando à expressão do Passo 5,