Calcule a integral de superfície \iint_{S}(x+y+z) d S, onde S é a superfície parametrizada por \vec{r}(u, v)= (u+v, 2 u+v, u-v), com 0 \leq u \leq 2 e 0 \leq v \leq 1.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} (x+y+z)\,dS,
onde a superfície S é dada pela parametrização
\vec{r}(u,v)=(u+v,\;2u+v,\;u-v)
com os parâmetros variando em
0\le u\le 2,\qquad 0\le v\le 1.
As informações relevantes que temos são: a expressão da parametrização \vec{r}(u,v) e o retângulo de parâmetros [0,2]\times[0,1]. A integral que precisamos resolver é a integral dupla no domínio de parâmetros, usando a fórmula de integral de superfície para função escalar.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicando passo a passo).
Quando uma superfície S é dada por uma parametrização \vec{r}(u,v), a integral de superfície de uma função escalar f(x,y,z) sobre S é calculada por
onde D é o domínio dos parâmetros (u,v), dA é o elemento de área em (u,v) (aqui dA=du\,dv), \vec{r}_u=\dfrac{\partial\vec{r}}{\partial u} e \vec{r}_v=\dfrac{\partial\vec{r}}{\partial v}. A magnitude \big\|\vec{r}_u\times\vec{r}_v\big\| é a área do paralelogramo gerado por \vec{r}_u e \vec{r}_v, e serve como fator de escala para transformar a integral do plano dos parâmetros para a superfície no espaço.
Vou calcular \vec{r}_u e \vec{r}_v explicitamente a partir de \vec{r}(u,v)=(u+v,\,2u+v,\,u-v):
Breve confirmação e motivação: a integral ficou simples porque a magnitude do produto vetorial foi constante e a função x+y+z se transformou numa combinação linear simples 4u+v. Resultado final calculado e apresentado abaixo.