Calcule a integral de superfície \iint_{S}(x+y+z) d S, onde S é a superfície parametrizada por \vec{r}(u, v)= (u+v, 2 u+v, u-v), com 0 \leq u \leq 2 e 0 \leq v \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} (x+y+z)\,dS,
onde a superfície S é dada pela parametrização
\vec{r}(u,v)=(u+v,\;2u+v,\;u-v)
com os parâmetros variando em
0\le u\le 2,\qquad 0\le v\le 1.
As informações relevantes que temos são: a expressão da parametrização \vec{r}(u,v) e o retângulo de parâmetros [0,2]\times[0,1]. A integral que precisamos resolver é a integral dupla no domínio de parâmetros, usando a fórmula de integral de superfície para função escalar.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicando passo a passo).
  • Quando uma superfície S é dada por uma parametrização \vec{r}(u,v), a integral de superfície de uma função escalar f(x,y,z) sobre S é calculada por
\iint_{S} f(x,y,z)\,dS = \iint_{D} f\big(\vec{r}(u,v)\big)\,\big\|\vec{r}_u\times\vec{r}_v\big\|\,dA,
onde D é o domínio dos parâmetros (u,v), dA é o elemento de área em (u,v) (aqui dA=du\,dv), \vec{r}_u=\dfrac{\partial\vec{r}}{\partial u} e \vec{r}_v=\dfrac{\partial\vec{r}}{\partial v}. A magnitude \big\|\vec{r}_u\times\vec{r}_v\big\| é a área do paralelogramo gerado por \vec{r}_u e \vec{r}_v, e serve como fator de escala para transformar a integral do plano dos parâmetros para a superfície no espaço.
Vou calcular \vec{r}_u e \vec{r}_v explicitamente a partir de \vec{r}(u,v)=(u+v,\,2u+v,\,u-v):
\vec{r}_u=\frac{\partial\vec{r}}{\partial u}=(1,\;2,\;1), \qquad \vec{r}_v=\frac{\partial\vec{r}}{\partial v}=(1,\;1,\;-1).

Passo 3

Cálculo do produto vetorial \vec{r}_u\times\vec{r}_v e sua magnitude, explicando método.
  • O produto vetorial em coordenadas é dado pelo determinante da matriz com os vetores canônicos:
\vec{r}_u\times\vec{r}_v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente:
\vec{r}_u\times\vec{r}_v = \big(2\cdot(-1)-1\cdot1,\;-(1\cdot(-1)-1\cdot1),\;1\cdot1-2\cdot1\big).
Simplificando cada componente:
\vec{r}_u\times\vec{r}_v = (-3,\;2,\;-1).
A magnitude é
\big\|\vec{r}_u\times\vec{r}_v\big\|=\sqrt{(-3)^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14}.
Observação útil: essa magnitude é constante (não depende de u nem de v), o que simplifica a integral.

Passo 4

Substituir a função f(x,y,z)=x+y+z na parametrização e obter a expressão em u,v.
  • Primeiro, escrever x+y+z usando \vec{r}(u,v):
x+y+z=(u+v)+(2u+v)+(u-v).
Somando os termos similares:
x+y+z = 4u + v.
Portanto, a integranda na integral de superfície vira (4u+v) multiplicada por \big\|\vec{r}_u\times\vec{r}_v\big\|=\sqrt{14}.

Passo 5

Montar a integral dupla sobre o domínio dos parâmetros e calcular passo a passo.
Usando a fórmula:
\iint_{S} (x+y+z)\,dS = \iint_{D} (4u+v)\,\sqrt{14}\;dA,
onde D=\{(u,v)\mid 0\le u\le 2,\;0\le v\le 1\}. Como \sqrt{14} é constante, fatoramos:
\iint_{S} (x+y+z)\,dS = \sqrt{14}\iint_{D} (4u+v)\,du\,dv.
Vamos integrar primeiro em v de 0 a 1:
\int_{0}^{1} (4u+v)\,dv = \int_{0}^{1} 4u\,dv + \int_{0}^{1} v\,dv = 4u\cdot(1) + \left.\frac{v^2}{2}\right|_{0}^{1} = 4u + \frac{1}{2}.
Agora integrar em u de 0 a 2:
\int_{0}^{2} \left(4u+\frac{1}{2}\right)\,du = \left.\!2u^2\right|_{0}^{2} + \left.\frac{u}{2}\right|_{0}^{2} = 2\cdot 2^2 + \frac{2}{2} = 8 + 1 = 9.
Portanto a integral dupla sem o fator \sqrt{14} é 9. Multiplicando:
\iint_{S} (x+y+z)\,dS = \sqrt{14}\cdot 9 = 9\sqrt{14}.

Passo 6

Breve confirmação e motivação: a integral ficou simples porque a magnitude do produto vetorial foi constante e a função x+y+z se transformou numa combinação linear simples 4u+v. Resultado final calculado e apresentado abaixo.

Resposta

9\sqrt{14}

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