Use o Teorema do Divergente para encontrar \iiint_{E} \operatorname{div} \vec{F} d V para o campo vetorial \vec{F}(x, y, z)= x z \vec{i}+y z \vec{j}+3 z^{2} \vec{k} no sólido limitado pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2} e pelo plano z=1.

Passo 1

O enunciado pede que se calcule
\iiint_{E} \operatorname{div}\vec{F}\,dV
onde o campo vetorial é \vec{F}(x,y,z)= x z\,\vec{i}+y z\,\vec{j}+3 z^{2}\,\vec{k} e o sólido E é o região limitada pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2} por baixo e pelo plano z=1 por cima.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O campo vetorial dado é \vec{F}(x,y,z)= x z\,\vec{i}+y z\,\vec{j}+3 z^{2}\,\vec{k}.
  • A região E é o conjunto de pontos (x,y,z) tais que
    • por baixo: z = x^{2}+y^{2},
    • por cima: z = 1.
  • A projeção de E no plano xy (ou seja o conjunto de (x,y) para os quais existe z com x^{2}+y^{2}\le z\le1) é o disco x^{2}+y^{2}\le1.
O que se pede: calcular o valor numérico do integral triplo \iiint_{E} \operatorname{div}\vec{F}\,dV.

Passo 2

Calcular a divergência do campo \vec{F}. Vou lembrar a definição e explicá‑la passo a passo.
Definição: para um campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=F_{1}\,\vec{i}+F_{2}\,\vec{j}+F_{3}\,\vec{k}, a divergência é
\operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}+\frac{\partial F_{3}}{\partial z}.
Aqui F_{1}(x,y,z)=x z, F_{2}(x,y,z)=y z e F_{3}(x,y,z)=3 z^{2}. Vou calcular cada derivada parcial:
  • \dfrac{\partial F_{1}}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(x z)=z, porque z é tratado como constante ao derivar em x e a derivada de x é 1.
  • \dfrac{\partial F_{2}}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(y z)=z, pelo mesmo raciocínio.
  • \dfrac{\partial F_{3}}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}(3 z^{2})=6 z.
Somando,
\operatorname{div}\vec{F}=z+z+6 z=8 z.
Portanto o integrando do integral pedido é simplesmente 8 z.

Passo 3

Escolher coordenadas e descrever os limites de integração.
Explicação das coordenadas cilíndricas (úteis porque a região projetada no plano xy é um disco):
  • Em coordenadas cilíndricas usa‑se (r,\theta,z) com x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z,onde r\ge0 é a distância ao eixo z e \theta é o ângulo polar.
  • O elemento de volume em coordenadas cilíndricas vale dV=r\,dr\,d\theta\,dz. Aqui r aparece porque a transformação tem Jacobiano r.
Determinar os limites para r,\theta,z:
  • A superfície inferior é z=r^{2} (pois x^{2}+y^{2}=r^{2}).
  • A superfície superior é z=1.
  • A projeção no plano xy vem de exigir r^{2}\le 1, ou seja 0\le r\le1.
  • O ângulo varia em todo o círculo: 0\le\theta\le 2\pi.
  • Para um dado r e \theta, z varia de z=r^{2} até z=1.
Assim o integral triplo fica, em coordenadas cilíndricas,
\iiint_{E}\operatorname{div}\vec{F}\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=r^{2}}^{1} \big(8 z\big)\, r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Integrar em z (a integração interna). Vou fazer detalhadamente.
O integrando é 8 z \cdot r. Integro em z de z=r^{2} até z=1:
\int_{z=r^{2}}^{1} 8 z\, r\,dz = 8 r \int_{r^{2}}^{1} z\,dz.
Calcule a primitiva de z: \int z\,dz = \dfrac{z^{2}}{2}. Então
8 r \int_{r^{2}}^{1} z\,dz = 8 r \left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{z=r^{2}}^{z=1} =8 r \left(\frac{1^{2}}{2}-\frac{(r^{2})^{2}}{2}\right) =8 r \cdot \frac{1-r^{4}}{2}.
Simplificando o fator,
8 r \cdot \frac{1-r^{4}}{2}=4 r(1-r^{4})=4 r - 4 r^{5}.
Portanto após integrar em z o integrando efetivo em r,\theta é 4 r - 4 r^{5}.

Passo 5

Integrar em r. Agora integro de r=0 até r=1:
\int_{r=0}^{1} \big(4 r - 4 r^{5}\big)\,dr =4\int_{0}^{1} r\,dr - 4\int_{0}^{1} r^{5}\,dr.
Calcule cada integral:
  • \int_{0}^{1} r\,dr = \left[\dfrac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{2}.
  • \int_{0}^{1} r^{5}\,dr = \left[\dfrac{r^{6}}{6}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{6}.
Substituindo,
4\cdot \frac{1}{2} - 4\cdot \frac{1}{6} = 2 - \frac{4}{6} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}.
Portanto a integral sobre r (e já sobre z também) é \dfrac{4}{3}.

Passo 6

Integrar em \theta e concluir.
Agora falta integrar em \theta de 0 a 2\pi. O resultado anterior é independente de \theta, logo
\int_{\theta=0}^{2\pi} \frac{4}{3}\,d\theta = \frac{4}{3}\cdot\left[ \theta \right]_{0}^{2\pi} = \frac{4}{3}\cdot 2\pi = \frac{8\pi}{3}.
Esse é o valor do integral triplo pedido:
\iiint_{E}\operatorname{div}\vec{F}\,dV = \frac{8\pi}{3}.

Resposta

\dfrac{8\pi}{3}

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