Use o Teorema do Divergente para encontrar
para o campo vetorial
no sólido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule
onde o campo vetorial é
e o sólido
é o região limitada pelo paraboloide
por baixo e pelo plano
por cima.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O campo vetorial dado é
. - A região
é o conjunto de pontos tais que - por baixo:
, - por cima:
.
- por baixo:
- A projeção de
no plano (ou seja o conjunto de para os quais existe com ) é o disco .
O que se pede: calcular o valor numérico do integral triplo
.
Passo 2
Calcular a divergência do campo
. Vou lembrar a definição e explicá‑la passo a passo.
Definição: para um campo vetorial
, a divergência é
Aqui
,
e
. Vou calcular cada derivada parcial:
-
, porque é tratado como constante ao derivar em e a derivada de é . -
, pelo mesmo raciocínio. -
.
Somando,
Portanto o integrando do integral pedido é simplesmente
.
Passo 3
Escolher coordenadas e descrever os limites de integração.
Explicação das coordenadas cilíndricas (úteis porque a região projetada no plano
é um disco):
- Em coordenadas cilíndricas usa‑se
com onde é a distância ao eixo e é o ângulo polar. - O elemento de volume em coordenadas cilíndricas vale
. Aqui aparece porque a transformação tem Jacobiano .
Determinar os limites para
:
- A superfície inferior é
(pois ). - A superfície superior é
. - A projeção no plano
vem de exigir , ou seja . - O ângulo varia em todo o círculo:
. - Para um dado
e , varia de até .
Assim o integral triplo fica, em coordenadas cilíndricas,
Passo 4
Integrar em
(a integração interna). Vou fazer detalhadamente.
O integrando é
. Integro em
de
até
:
Calcule a primitiva de
:
. Então
Simplificando o fator,
Portanto após integrar em
o integrando efetivo em
é
.
Passo 5
Integrar em
. Agora integro de
até
:
Calcule cada integral:
-
. -
.
Substituindo,
Portanto a integral sobre
(e já sobre
também) é
.
Passo 6
Integrar em
e concluir.
Agora falta integrar em
de
a
. O resultado anterior é independente de
, logo
Esse é o valor do integral triplo pedido: