Questão 4: Resolva as seguintes EDOs por substituição:
(5 x+4 y) d x+\left(4 x-8 y^{3}\right) d y=0
\frac{d y}{d x}=(-2 x+y)^{2}-7, \quad y(0)=0
\left(x^{2}+2 y^{2}\right) \frac{d x}{d y}=x y, \quad y(-1)=1
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por substituição, três equações diferenciais ordinárias (EDOs). Aqui estão as EDOs e as condições iniciais fornecidas:
EDO 1: (5 x+4 y)\,d x+\left(4 x-8 y^{3}\right)\,d y=0.
EDO 2: \dfrac{d y}{d x}=(-2 x+y)^{2}-7,\qquad y(0)=0.
EDO 3: \left(x^{2}+2 y^{2}\right)\dfrac{d x}{d y}=x y,\qquad y(-1)=1.
Observações sobre as condições iniciais: a condição escrita para a EDO 3 é y(-1)=1, que significa que quando x=-1 temos y=1. Como a EDO 3 está dada na forma d x/d y (isto é, tratamos x como função de y), o ponto inicial útil para resolver como x(y) é x(1)=-1. Vou resolver cada EDO separadamente, mostrando a substituição e todos os passos necessários.
Passo 2
Resolvendo a EDO 1:
(5 x+4 y)\,d x+\left(4 x-8 y^{3}\right)\,d y=0.
Primeiro, interpreto como forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com
M(x,y)=5x+4y,\qquad N(x,y)=4x-8y^{3}.
Verifico se a equação é exata: calculo as derivadas parciais
A solução implícita geral da EDO 1 é dada por \Phi(x,y)= constante, isto é
\boxed{\frac{5}{2}x^{2}+4xy-2y^{4}=C.}
Isto resolve a primeira equação (solução implícita).
Passo 5
Resolvendo a EDO 2:
\frac{d y}{d x}=(-2 x+y)^{2}-7,\qquad y(0)=0.
A expressão à direita depende da combinação linear -2x+y. Uma substituição natural é
u=-2x+y.
Explico por que: a derivada de u com respeito a x envolve \dfrac{d y}{d x} e provavelmente simplifica a equação para uma forma separável. Calculo du/dx:
\frac{d u}{d x}=-2+\frac{d y}{d x}.
Substituo \dfrac{d y}{d x} da equação original:
\frac{d u}{d x}=-2+\big(u^{2}-7\big)=u^{2}-9.
Portanto a substituição transformou a EDO em
\frac{d u}{d x}=u^{2}-9,
que é uma equação separável.
Passo 6
Separe as variáveis e integre:
\frac{d u}{u^{2}-9}=dx.
Fatorando o denominador \,u^{2}-9=(u-3)(u+3)\, e usando frações parciais:
Uso a condição inicial para encontrar K. Para x=0 temos y(0)=0 e então u(0)=-2\cdot0+0=0. Substituindo u=0 e x=0 na relação sem valor absoluto (vamos considerar sinal):
\frac{0-3}{0+3}=-1=K\cdot e^{0}=K.
Logo K=-1. Retomando a relação (sem o valor absoluto, já que o sinal foi determinado):
Como observado no Passo 1, a condição y(-1)=1 significa que quando x=-1 temos y=1. Para resolver como x(y) é conveniente transformar essa condição para a forma x(1)=-1 (isto é, no valor y=1 a função x vale -1).
Passo 11
Tento uma substituição que simplifique a dependência de x e x^{2}. Defino
Como v=x^{2}/y^{2}\ge0, escolho o sinal +. Portanto
v=\frac{1+\sqrt{1+8y^{2}}}{4y^{2}}.
Lembrando v=x^{2}/y^{2}, obtenho
x^{2}=y^{2}v=\frac{1+\sqrt{1+8y^{2}}}{4}.
Assim
x=\pm\frac{1}{2}\sqrt{1+\sqrt{1+8y^{2}}}.
Use a condição inicial x(1)=-1 para fixar o sinal: quando y=1 a expressão com o sinal “+” dá x=+\tfrac{1}{2}\sqrt{1+3}=+1, e com sinal “−” dá x=-1. Como precisamos de x(1)=-1, escolhemos o sinal negativo.
Passo 15
Portanto a solução explícita x(y) que satisfaz a condição x(1)=-1 é