Questão 4 [ \mathbf{2 , 0} pts]: Se f(x, y)=\frac{x^{3}}{3}+\frac{y^{3}}{3}-2 x^{2}+3 x-4 y+2, determine os pontos de máximo e de mínimo locais assim como os pontos de sela.
A função está definida para todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^2.
Não há restrições adicionais no domínio.
Passo 2
Primeiro passo prático: encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são pontos onde o gradiente é nulo, ou seja, onde as derivadas parciais primeiras se anulam. Vamos calcular as derivadas parciais de f.
Regra rápida (lembrando de forma simples): para derivar x^{n} em relação a x usa-se n x^{n-1}; constantes somam sem mudar. Aplicando isso:
Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{3}}{3}\right) + \frac{d}{dx}(-2x^{2}) + \frac{d}{dx}(3x) + \frac{d}{dx}(\text{termos em }y\text{ e constantes}) .
Agrupando termos inteiros: 9-18+9-8+2=-6. Em terços: -6+\dfrac{8}{3}=-\dfrac{18}{3}+\dfrac{8}{3}=-\dfrac{10}{3}.
Logo f(3,2)=-\dfrac{10}{3}.
Para referência, os pontos de sela têm valores:
f(1,2)=-2,\qquad f(3,-2)=\frac{22}{3},
(se for preciso lembrar na prova).
Resposta
Ponto de máximo local: (1,-2), com f(1,-2)=\dfrac{26}{3}.
Ponto de mínimo local: (3,2), com f(3,2)=-\dfrac{10}{3}.
Pontos de sela: (1,2) e (3,-2) (com f(1,2)=-2 e f(3,-2)=\dfrac{22}{3}).