Questão 4 [ \mathbf{2 , 0} pts]: Se f(x, y)=\frac{x^{3}}{3}+\frac{y^{3}}{3}-2 x^{2}+3 x-4 y+2, determine os pontos de máximo e de mínimo locais assim como os pontos de sela.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\frac{x^{3}}{3}+\frac{y^{3}}{3}-2x^{2}+3x-4y+2.
O que é pedido:
  • Determinar os pontos de máximo locais.
  • Determinar os pontos de mínimo locais.
  • Determinar os pontos de sela.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está definida para todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^2.
  • Não há restrições adicionais no domínio.

Passo 2

Primeiro passo prático: encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são pontos onde o gradiente é nulo, ou seja, onde as derivadas parciais primeiras se anulam. Vamos calcular as derivadas parciais de f.
Regra rápida (lembrando de forma simples): para derivar x^{n} em relação a x usa-se n x^{n-1}; constantes somam sem mudar. Aplicando isso:
Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{3}}{3}\right) + \frac{d}{dx}(-2x^{2}) + \frac{d}{dx}(3x) + \frac{d}{dx}(\text{termos em }y\text{ e constantes}) .
Calculando termo a termo:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{3}}{3}\right)=x^{2},\qquad \frac{d}{dx}(-2x^{2})=-4x,\qquad \frac{d}{dx}(3x)=3.
Logo
\frac{\partial f}{\partial x}=x^{2}-4x+3.
Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{d}{dy}\!\left(\frac{y^{3}}{3}\right)+\frac{d}{dy}(-4y)+\text{(termos em }x\text{ e constantes)}.
Calculando:
\frac{d}{dy}\!\left(\frac{y^{3}}{3}\right)=y^{2},\qquad \frac{d}{dy}(-4y)=-4.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=y^{2}-4.

Passo 3

Agora achamos os pontos críticos resolvendo o sistema
\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x}=0,\\[4pt] \frac{\partial f}{\partial y}=0. \end{cases}
Substituindo as expressões:
\begin{cases} x^{2}-4x+3=0,\\[4pt] y^{2}-4=0. \end{cases}
Resolvendo cada equação (fatorando ou usando fórmula):
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3)=0\quad\Rightarrow\quad x=1\\ \text{ou}\\ x=3.
y^{2}-4=(y-2)(y+2)=0\quad\Rightarrow\quad y=2\\ \text{ou}\\ y=-2.
Os pontos críticos são todas as combinações de x e y:
(1,2),\quad (1,-2),\quad (3,2),\quad (3,-2).]

Passo 4

Agora vamos classificar cada ponto crítico (máximo local, mínimo local ou sela). Usamos as segundas derivadas e o determinante da matriz Hessiana.
Definição prática e teste:
  • Calcular f_{xx}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}},\\ f_{yy}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}},\\ f_{xy}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}.
  • O determinante da Hessiana é D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}.
  • Regras de classificação:
    • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
    • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
    • Se D<0 então ponto de sela.
    • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Vamos calcular as segundas derivadas.

Passo 5

Calcular segundas derivadas a partir das primeiras:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}-4x+3)=2x-4,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(y^{2}-4)=2y,
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}-4x+3)=0,
pois a primeira derivada em x não depende de y. Assim f_{xy}=0 e a Hessiana é diagonal, o que simplifica D=f_{xx}f_{yy}.
Agora avaliamos f_{xx},f_{yy} e D em cada ponto crítico.
  1. Ponto (1,2):
f_{xx}(1,2)=2\cdot1-4=-2,\qquad f_{yy}(1,2)=2\cdot2=4,
D(1,2)=(-2)\cdot4=-8<0.
Como D<0, (1,2) é um ponto de sela.
  1. Ponto (1,-2):
f_{xx}(1,-2)=2\cdot1-4=-2,\qquad f_{yy}(1,-2)=2\cdot(-2)=-4,
D(1,-2)=(-2)\cdot(-4)=8>0.
Aqui D>0 e f_{xx}=-2<0, logo (1,-2) é um máximo local.
  1. Ponto (3,2):
f_{xx}(3,2)=2\cdot3-4=2,\qquad f_{yy}(3,2)=2\cdot2=4,
D(3,2)=2\cdot4=8>0.
Aqui D>0 e f_{xx}=2>0, logo (3,2) é um mínimo local.
  1. Ponto (3,-2):
f_{xx}(3,-2)=2,\qquad f_{yy}(3,-2)=2\cdot(-2)=-4,
D(3,-2)=2\cdot(-4)=-8<0.
Como D<0, (3,-2) é um ponto de sela.

Passo 6

Opcional (útil para a prova): calcular os valores de f nesses pontos para conhecer o valor do máximo/mínimo local.
Cálculo direto (substituindo na expressão de f):
Para (1,-2):
f(1,-2)=\frac{1^{3}}{3}+\frac{(-2)^{3}}{3}-2\cdot1^{2}+3\cdot1-4\cdot(-2)+2 = \frac{1}{3}-\frac{8}{3}-2+3+8+2.
Organizando em terços:
\frac{1-8}{3} + ( -2+3+8+2 ) = -\frac{7}{3} + 11 = -\frac{7}{3} + \frac{33}{3} = \frac{26}{3}.
Logo f(1,-2)=\dfrac{26}{3}.
Para (3,2):
f(3,2)=\frac{27}{3}+\frac{8}{3}-2\cdot9+3\cdot3-4\cdot2+2 =9+\frac{8}{3}-18+9-8+2.
Agrupando termos inteiros: 9-18+9-8+2=-6. Em terços: -6+\dfrac{8}{3}=-\dfrac{18}{3}+\dfrac{8}{3}=-\dfrac{10}{3}.
Logo f(3,2)=-\dfrac{10}{3}.
Para referência, os pontos de sela têm valores:
f(1,2)=-2,\qquad f(3,-2)=\frac{22}{3},
(se for preciso lembrar na prova).

Resposta

Ponto de máximo local: (1,-2), com f(1,-2)=\dfrac{26}{3}.
Ponto de mínimo local: (3,2), com f(3,2)=-\dfrac{10}{3}.
Pontos de sela: (1,2) e (3,-2) (com f(1,2)=-2 e f(3,-2)=\dfrac{22}{3}).

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