Calcule a integral de superficie
\iint_{0} x-y-z d S
onde \sigma é a porcĩo do plano x+y=1 no primeiro octante entre z=0 e z=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{\sigma}(x - y - z)\,dS
onde \sigma é a porção do plano x+y=1 situada no primeiro octante e limitada pelas alturas z=0 e z=1.
Conteúdo: integrais de superfície de função escalar. Vamos parametrizar a superfície e obter dS.

Passo 2

Parametrizamos \sigma usando as variáveis x e z. Como y=1-x e 0\le x\le1, 0\le z\le1, definimos
\mathbf r(x,z) = \bigl(x,\;1 - x,\;z\bigr), \quad (x,z)\in[0,1]\times[0,1].

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes e o elemento de área:
\mathbf r_x = (1,-1,0), \quad \mathbf r_z = (0,0,1).
O módulo do produto vetorial é
\bigl\|\mathbf r_x\times\mathbf r_z\bigr\| = \bigl\|(-1,-1,0)\bigr\| = \sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Logo
dS = \sqrt{2}\,dx\,dz.

Passo 4

Substituímos y=1-x na função integranda:
f(x,y,z)=x - y - z = x - (1-x) - z = 2x - 1 - z.
Assim a integral vira
\iint_{\sigma}(x-y-z)\,dS = \int_{z=0}^{1}\int_{x=0}^{1}\bigl(2x - 1 - z\bigr)\,\sqrt{2}\,dx\,dz.

Passo 5

Integramos primeiro em x:
\int_{0}^{1}(2x - 1 - z)\,dx =\Bigl[x^2 - x - z\,x\Bigr]_{0}^{1} =1 - 1 - z = -\,z.
Logo
\iint_{\sigma}(x-y-z)\,dS = \sqrt{2}\int_{0}^{1}(-z)\,dz = -\sqrt{2}\,\frac{z^2}{2}\Big|_{0}^{1} = -\frac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

-\tfrac{\sqrt{2}}{2}

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