Encontre o valor de x da seguinte equação 2,15=\left(\frac{x}{1+0,5 x} \times \frac{3}{1}\right)^{1} \times\left(\frac{1-0,5 x}{1+0,5 x} \times \frac{3}{1}\right)^{-\frac{1}{2}}

Passo 1

O enunciado pede encontrar x tal que
2,15 = \Bigl(\frac{x}{1+0,5x}\times\frac{3}{1}\Bigr)^{1}\times\Bigl(\frac{1-0,5x}{1+0,5x}\times\frac{3}{1}\Bigr)^{-\tfrac12}.
O conteúdo envolvido é manipulação de potências e raízes, e precisaremos isolar x aplicando propriedades de expoentes e, em seguida, resolver uma equação em x^2.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão de forma mais direta. Note que
\Bigl(\tfrac{1-0,5x}{1+0,5x}\times3\Bigr)^{-\tfrac12} =\sqrt{\Bigl(\tfrac{1+0,5x}{3(1-0,5x)}\Bigr)}.
Assim a equação vira
2,15 = \frac{3x}{1+0,5x}\,\times\sqrt{\frac{1+0,5x}{3\bigl(1-0,5x\bigr)}}.

Passo 3

Combine a fração com a raiz:
2,15 = \frac{3x}{1+0,5x}\;\frac{\sqrt{\,1+0,5x\,}}{\sqrt{3\,(1-0,5x)}} = \frac{3x}{1+0,5x}\;\frac{\sqrt{1+0,5x}}{\sqrt{3}\,\sqrt{1-0,5x}}.
Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado.

Passo 4

Elevando ao quadrado:
(2,15)^2 = \frac{(3x)^2}{(1+0,5x)^2}\;\frac{1+0,5x}{3\,(1-0,5x)}.
Simplificando a fração: um fator 1+0,5x cancela, e 3 fica no denominador, resultando em
(2,15)^2 = \frac{9x^2}{(1+0,5x)\,3\,(1-0,5x)} = \frac{3x^2}{(1+0,5x)(1-0,5x)}.
Mas (1+0,5x)(1-0,5x)=1-0,25x^2. Logo
4,6225 = \frac{3x^2}{1-0,25x^2}.

Passo 5

Multiplicamos em cruz:
4,6225\,(1-0,25x^2) = 3x^2 \;\;\Longrightarrow\;\; 4,6225 - 1,155625\,x^2 = 3x^2 \;\;\Longrightarrow\;\; 4,6225 = 4,155625\,x^2
daí
x^2 = \frac{4,6225}{4,155625}\approx1,11242.

Passo 6

Assim
x = \pm\sqrt{1,11242}\approx\pm1,055.
Para que o lado direito original seja positivo e as expressões dentro das raízes façam sentido, precisamos de 1+0,5x>0 e 1-0,5x>0 (o que dá -2<x<2) e \frac{3x}{1+0,5x}>0. Dessas condições só cabe x>0.

Resposta

x\approx1,055

Exercícios relacionados