Questão 1. (5.0 pontos) Considere a equação diferencial
y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=2 e^{t}, \quad t \in \mathbb{R}
Obtenha:
a. (2.0 pontos) A solução geral da equação diferencial homogênea associada com (1);
b. (2.0 pontos) Uma solução particular de (1);
c. (1.0 ponto) A solução do problema de valor inicial envolvendo a equação diferencial (1) e as condições iniciais: y(0)=0, y^{\prime}(0)=1 e y^{\prime \prime}(0)=2.

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO linear de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' - y'' + y' - y = 2e^t,
e pede:
a) a solução geral da homogênea associada;
b) uma solução particular;
c) a solução que satisfaz y(0)=0,\;y'(0)=1,\;y''(0)=2.
Para isso, vamos usar o procedimento padrão: (i) resolver a equação característica da homogênea, (ii) usar coeficientes a determinar para achar y_p, (iii) somar as soluções e impor as condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a equação característica da homogênea
r^3 - r^2 + r - 1 = 0.
Agrupando em dois fatores, temos
r^2(r-1)+(r-1)=(r^2+1)(r-1)=0,
logo as raízes são
r=1,\quad r=\pm i.

Passo 3

Como r=1 é raiz real simples e r=\pm i formam um par complexo, a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1 e^t + C_2\cos t + C_3\sin t,
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Para obter uma solução particular de
y'''-y''+y'-y=2e^t
notamos que o termo forçante e^t corresponde à raiz r=1 de multiplicidade 1. Pelo método de coeficientes a determinar, tentamos
y_p(t)=A\,t e^t.
Calculando derivadas:
y_p' = A\,e^t(t+1),\quad y_p'' = A\,e^t(t+2),\quad y_p'''=A\,e^t(t+3).
Substituindo na EDO, a soma y_p'''-y_p''+y_p'-y_p torna-se
A e^t\bigl[(t+3)-(t+2)+(t+1)-t\bigr] = A e^t\cdot2.
Para igualar a 2e^t, basta 2A=2, ou seja A=1. Logo
y_p(t)=t e^t.

Passo 5

A solução geral da EDO não homogênea é
y(t)=y_h(t)+y_p(t) =C_1 e^t + C_2\cos t + C_3\sin t + t e^t.

Passo 6

Agora impomos as condições iniciais. Primeiro,
y(0)=C_1 + C_2 + 0 + 0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_1 + C_2 = 0.
Em seguida, calculamos
y'(t)=C_1 e^t - C_2\sin t + C_3\cos t + e^t(t+1),
logo
y'(0)=C_1 + C_3 + 1 = 1 \quad\Longrightarrow\quad C_1 + C_3 = 0.
Finalmente,
y''(t)=C_1 e^t - C_2\cos t - C_3\sin t + e^t(t+2),
e
y''(0)=C_1 - C_2 + 2 = 2 \quad\Longrightarrow\quad C_1 - C_2 = 0.

Passo 7

Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = 0,\\\ C_1 - C_2 = 0,\\\ C_1 + C_3 = 0, \end{cases}
vemos que C_1=C_2=C_3=0. Portanto a solução que satisfaz as condições iniciais é simplesmente
y(t)=t e^t.

Resposta

a) A solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1 e^t + C_2\cos t + C_3\sin t.
b) Uma solução particular é
y_p(t)=t e^t.
c) A solução do problema de valor inicial é
\boxed{y(t)=t e^t.}

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