Questão 1. (5.0 pontos) Considere a equação diferencial
y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=2 e^{t}, \quad t \in \mathbb{R}
Obtenha:
a. (2.0 pontos) A solução geral da equação diferencial homogênea associada com (1);
b. (2.0 pontos) Uma solução particular de (1);
c. (1.0 ponto) A solução do problema de valor inicial envolvendo a equação diferencial (1) e as condições iniciais: y(0)=0, y^{\prime}(0)=1 e y^{\prime \prime}(0)=2.
Passo 1
O enunciado apresenta a EDO linear de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' - y'' + y' - y = 2e^t,
e pede:
a) a solução geral da homogênea associada;
b) uma solução particular;
c) a solução que satisfaz y(0)=0,\;y'(0)=1,\;y''(0)=2.
Para isso, vamos usar o procedimento padrão: (i) resolver a equação característica da homogênea, (ii) usar coeficientes a determinar para achar y_p, (iii) somar as soluções e impor as condições iniciais.
Passo 2
Escrevemos a equação característica da homogênea
r^3 - r^2 + r - 1 = 0.
Agrupando em dois fatores, temos
r^2(r-1)+(r-1)=(r^2+1)(r-1)=0,
logo as raízes são
r=1,\quad r=\pm i.
Passo 3
Como r=1 é raiz real simples e r=\pm i formam um par complexo, a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1 e^t + C_2\cos t + C_3\sin t,
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias.
Passo 4
Para obter uma solução particular de
y'''-y''+y'-y=2e^t
notamos que o termo forçante e^t corresponde à raiz r=1 de multiplicidade 1. Pelo método de coeficientes a determinar, tentamos