Calcule a integral de superfície. \int_{S} y d S, S o helicóide parametrizado por \vec{r}(u, v)=(u \cos v, u \operatorname{sen} v, v), 0 \leq u \leq 1, 0 \leq v \leq \pi .
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de superfície
\iint_{S} y\,dS,
onde S é o helicoide parametrizado por
\vec{r}(u,v)=(u\cos v,\;u\sin v,\;v),
com as variáveis no domínio
0\le u\le 1,\qquad 0\le v\le \pi.
Informações dadas:
A função a integrar sobre a superfície é y.
A superfície está parametrizada por \vec{r}(u,v) com u,v no retângulo descrito acima.
Não há outras condições.
Passo 2
Lembrete teórico (fórmula que vamos usar): para uma superfície parametrizada por \vec{r}(u,v), a integral de uma função escalar f sobre a superfície é
\vec{r}_u=\dfrac{\partial\vec{r}}{\partial u} e \vec{r}_v=\dfrac{\partial\vec{r}}{\partial v} são as derivadas parciais de \vec{r};
\vec{r}_u\times\vec{r}_v é o produto vetorial entre elas;
\big\|\vec{r}_u\times\vec{r}_v\big\| é o módulo desse produto vetorial e representa o fator de estiramento (ele dá o elemento de área da parametrização).
Aqui f(y)=y, e f(\vec{r}(u,v)) será o segundo componente de \vec{r}.
Passo 3
Calcular a função a integrar em termos de u,v. A coordenada y da parametrização é u\sin v. Portanto
f(\vec{r}(u,v))=y(u,v)=u\sin v.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais \vec{r}_u e \vec{r}_v.
Note que o integrando se separa em um fator que depende só de v (\sin v) e outro que depende só de u (u\sqrt{1+u^2}). Isso facilita a integração por separação de variáveis: