Calcule a integral de superfície.
\int_{S} y d S, S o helicóide parametrizado por \vec{r}(u, v)=(u \cos v, u \operatorname{sen} v, v), 0 \leq u \leq 1, 0 \leq v \leq \pi .

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de superfície
\iint_{S} y\,dS,
onde S é o helicoide parametrizado por
\vec{r}(u,v)=(u\cos v,\;u\sin v,\;v),
com as variáveis no domínio
0\le u\le 1,\qquad 0\le v\le \pi.
Informações dadas:
  • A função a integrar sobre a superfície é y.
  • A superfície está parametrizada por \vec{r}(u,v) com u,v no retângulo descrito acima.
  • Não há outras condições.

Passo 2

Lembrete teórico (fórmula que vamos usar): para uma superfície parametrizada por \vec{r}(u,v), a integral de uma função escalar f sobre a superfície é
\iint_{S} f\,dS = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v))\,\big\|\vec{r}_u\times\vec{r}_v\big\|\,du\,dv,
onde
  • \vec{r}_u=\dfrac{\partial\vec{r}}{\partial u} e \vec{r}_v=\dfrac{\partial\vec{r}}{\partial v} são as derivadas parciais de \vec{r};
  • \vec{r}_u\times\vec{r}_v é o produto vetorial entre elas;
  • \big\|\vec{r}_u\times\vec{r}_v\big\| é o módulo desse produto vetorial e representa o fator de estiramento (ele dá o elemento de área da parametrização).
    Aqui f(y)=y, e f(\vec{r}(u,v)) será o segundo componente de \vec{r}.

Passo 3

Calcular a função a integrar em termos de u,v. A coordenada y da parametrização é u\sin v. Portanto
f(\vec{r}(u,v))=y(u,v)=u\sin v.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais \vec{r}_u e \vec{r}_v.
\vec{r}_u=\frac{\partial}{\partial u}(u\cos v,\;u\sin v,\;v)=(\cos v,\;\sin v,\;0),
\vec{r}_v=\frac{\partial}{\partial v}(u\cos v,\;u\sin v,\;v)=(-u\sin v,\;u\cos v,\;1).
Expliquei: derivando componente a componente, tratam-se as regras usuais de derivada (por exemplo \partial (u\cos v)/\partial u=\cos v, etc.).

Passo 5

Calcular o produto vetorial \vec{r}_u\times\vec{r}_v e seu módulo, passo a passo:
\vec{r}_u\times\vec{r}_v= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] \cos v & \sin v & 0\\[4pt] - u\sin v & u\cos v & 1 \end{vmatrix}.
Expandindo o determinante:
  • Componente i: \sin v\cdot 1 - 0\cdot (u\cos v)=\sin v.
  • Componente j: subtrai-se \cos v\cdot 1 - 0\cdot(-u\sin v)=\cos v, então a componente j fica -\cos v.
  • Componente k: \cos v\cdot u\cos v - \sin v\cdot(-u\sin v)=u\cos^2 v + u\sin^2 v = u(\cos^2 v+\sin^2 v)=u.
    Logo
\vec{r}_u\times\vec{r}_v=(\sin v,\; -\cos v,\; u).
O módulo é
\big\|\vec{r}_u\times\vec{r}_v\big\| =\sqrt{(\sin v)^2+(-\cos v)^2+u^2} =\sqrt{\sin^2 v+\cos^2 v+u^2} =\sqrt{1+u^2},
pois \sin^2 v+\cos^2 v=1. Observação: o módulo não depende de v, só de u.]

Passo 6

Montar a integral dupla usando a fórmula do Passo 2:
\iint_{S} y\,dS =\int_{v=0}^{\pi}\int_{u=0}^{1} \big(u\sin v\big)\,\sqrt{1+u^2}\;du\,dv.
Note que o integrando se separa em um fator que depende só de v ( \sin v) e outro que depende só de u ( u\sqrt{1+u^2}). Isso facilita a integração por separação de variáveis:
\iint_{S} y\,dS =\left(\int_{v=0}^{\pi}\sin v\,dv\right)\left(\int_{u=0}^{1} u\sqrt{1+u^2}\,du\right).

Passo 7

Calcular a integral em v:
\int_{0}^{\pi}\sin v\,dv=[-\cos v]_{0}^{\pi}= -\cos\pi -(-\cos 0)= -(-1) -(-1)=1+1=2.

Passo 8

Calcular a integral em u:
fazer a substituição t=1+u^2. Então dt=2u\,du, ou seja u\,du=\dfrac{dt}{2}.
Quando u=0 tem t=1; quando u=1 tem t=2.
Portanto
\int_{0}^{1} u\sqrt{1+u^2}\,du = \frac{1}{2}\int_{1}^{2} t^{1/2}\,dt.
Integrando:
\frac{1}{2}\int_{1}^{2} t^{1/2}\,dt = \frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}t^{3/2}\right]_{1}^{2} = \frac{1}{3}\big(2^{3/2}-1\big).

Passo 9

Multiplicar os resultados das integrais em v e u:
\iint_{S} y\,dS = 2\cdot \frac{1}{3}\big(2^{3/2}-1\big) = \frac{2}{3}\big(2^{3/2}-1\big).
Podemos também escrever 2^{3/2}=2\sqrt{2}, então uma forma equivalente é
\iint_{S} y\,dS = \frac{4}{3}\sqrt{2}-\frac{2}{3}.

Resposta

\dfrac{2}{3}\bigl(2^{3/2}-1\bigr)

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