x(3 x+11)=20

Passo 1

O enunciado dá a equação
x(3x+11)=20
e pede para encontrar todos os valores de x que satisfazem essa igualdade. Informações relevantes dadas:
  • Produto de x por (3x+11) é igual a 20.
  • Não há outras restrições explicitas sobre x.

Passo 2

O primeiro passo algébrico é eliminar o parêntese expandindo o produto à esquerda. Multiplicando x por cada termo dentro do parêntese:
x(3x+11)=3x^2+11x.
Portanto a equação fica
3x^2+11x=20.

Passo 3

Vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação quadrática, que é \,ax^2+bx+c=0\,. Subtraindo 20 de ambos os lados obtemos
3x^2+11x-20=0.
Aqui identificamos os coeficientes:
a=3,\qquad b=11,\qquad c=-20.
Breve explicação: uma equação quadrática tem essa forma e normalmente se resolve encontrando x que tornam o polinômio nulo.

Passo 4

Vou usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para resolver. A fórmula geral é
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
O termo dentro da raiz, \Delta=b^2-4ac, chama-se discriminante. Ele nos diz quantas soluções reais há:
  • Se \Delta>0: duas raízes reais distintas.
  • Se \Delta=0: uma raiz real dupla.
  • Se \Delta<0: raízes complexas conjugadas.
Calculemos o discriminante para nossos coeficientes:
\Delta = 11^2-4\cdot 3\cdot(-20)=121+240=361.
Como \Delta=361>0, haverá duas raízes reais distintas. Observação: \sqrt{361}=19 porque 19\cdot19=361.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula:
x=\frac{-11\pm 19}{2\cdot 3}=\frac{-11\pm 19}{6}.
Calculamos as duas opções separadamente.
Opção com o sinal +:
x=\frac{-11+19}{6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.
Aqui simplifiquei a fração dividindo numerador e denominador por 2.
Opção com o sinal -:
x=\frac{-11-19}{6}=\frac{-30}{6}=-5.

Passo 6

É sempre bom checar substituindo as soluções na equação original.
Para x=\dfrac{4}{3}:
x(3x+11)=\frac{4}{3}\Big(3\cdot\frac{4}{3}+11\Big)=\frac{4}{3}\big(4+11\big)=\frac{4}{3}\cdot 15=\frac{60}{3}=20.
Confere.
Para x=-5:
x(3x+11)=-5\big(3\cdot(-5)+11\big)=-5(-15+11)=-5(-4)=20.
Também confere. As duas soluções são válidas.

Resposta

x=\dfrac{4}{3}
x=-5

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