Calcule a integral de superfície.
\int_{S}(x+y+z) d S, S o paralelogramo com equações paramétricas x=u+v, y=u-v, z=1+2 u+v, 0 \leq u \leq 2,0 \leq v \leq 1 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\int_{S}(x+y+z)\,dS,
onde S é o paralelogramo dado pelas parametrizações
x=u+v,\qquad y=u-v,\qquad z=1+2u+v,
com 0\le u\le 2 e 0\le v\le 1.
Informações relevantes que o enunciado fornece (copiadas da parametrização):
  • A parametrização da superfície é \mathbf{r}(u,v)=\big(u+v,\;u-v,\;1+2u+v\big).
  • O domínio paramétrico é o retângulo \{(u,v)\mid 0\le u\le 2,\\\ 0\le v\le 1\}.
  • A função a integrar sobre a superfície é f(x,y,z)=x+y+z.
O que o problema pede explicitamente:
  • Calcular \displaystyle \int_{S}(x+y+z)\,dS usando a parametrização dada.

Passo 2

Recordando a fórmula prática para integrais de superfície: se uma superfície S tem parametrização \mathbf{r}(u,v), então
dS = \big\lVert \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\rVert\,du\,dv,
e a integral de uma função escalar f(x,y,z) sobre S vira
\int_{S} f(x,y,z)\,dS = \int\!\!\int_{D} f\big(\mathbf{r}(u,v)\big)\,\big\lVert \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\rVert\,du\,dv,
onde D é o domínio de (u,v).
Primeiro vamos calcular os vetores parciais \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v. Da parametrização
\mathbf{r}(u,v)=\big(u+v,\;u-v,\;1+2u+v\big),
temos derivando componente a componente:
\mathbf{r}_u=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}=\big(1,\;1,\;2\big), \qquad \mathbf{r}_v=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}=\big(1,\;-1,\;1\big).

Passo 3

Agora precisamos do produto vetorial \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v. Vou lembrar a fórmula do determinante 3×3 para o produto vetorial:
\mathbf{a}\times\mathbf{b}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] a_1 & a_2 & a_3\\[4pt] b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}.
Aplicando a isto com \mathbf{r}_u=(1,1,2) e \mathbf{r}_v=(1,-1,1):
\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 1 & 2\\\\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente:
  • Componente \mathbf{i}: 1\cdot 1 - 2\cdot(-1)=1+2=3.
  • Componente \mathbf{j}: 1\cdot 1 - 2\cdot 1 =1-2=-1, e lembrando o sinal do termo central do determinante dá -(-1)=+1. (Forma padrão: segunda componente é negativa do menor correspondente; aqui já aplicamos o sinal.)
  • Componente \mathbf{k}: 1\cdot(-1) - 1\cdot 1 = -1-1=-2.
Portanto
\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v=(3,\;1,\;-2).]

Passo 4

Agora precisamos do comprimento desse vetor para obter dS:
\big\lVert \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\rVert=\sqrt{3^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}.
Observe que \sqrt{14} é constante (não depende de u nem de v), o que simplifica muito a integral: dS=\sqrt{14}\,du\,dv.

Passo 5

Precisamos também escrever a função integranda x+y+z em termos de u e v. Substituindo a parametrização:
x+y+z=(u+v)+(u-v)+(1+2u+v).
Somando termos semelhantes com cuidado:
  • Termos em u: u+u+2u=4u.
  • Termos em v: v-v+v=v.
  • Termo constante: +1.
Logo
x+y+z = 4u+v+1.

Passo 6

Montamos a integral dupla no domínio D=\{0\le u\le 2,\\\ 0\le v\le 1\}:
\int_{S}(x+y+z)\,dS = \int_{0}^{2}\int_{0}^{1} (4u+v+1)\,\big\lVert \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\rVert\,dv\,du = \int_{0}^{2}\int_{0}^{1} (4u+v+1)\,\sqrt{14}\,dv\,du.
Como \sqrt{14} é constante, posso deixá-la fora da integral dupla no final. Vamos calcular a integral interna em v primeiro:
\int_{0}^{1} (4u+v+1)\,dv = \int_{0}^{1} (4u+1)\,dv + \int_{0}^{1} v\,dv.
  • \int_{0}^{1} (4u+1)\,dv = (4u+1)\cdot(1-0)=4u+1 porque 4u+1 é constante em v.
  • \int_{0}^{1} v\,dv = \left.\dfrac{v^2}{2}\right|_{0}^{1}=\dfrac{1}{2}.
Somando:
\int_{0}^{1} (4u+v+1)\,dv = 4u+1+\dfrac{1}{2}=4u+\dfrac{3}{2}.

Passo 7

Agora integramos em u de 0 a 2 e multiplicamos por \sqrt{14}:
\int_{0}^{2}\Big(4u+\dfrac{3}{2}\Big)\,du = \left. 4\cdot \dfrac{u^2}{2} + \dfrac{3}{2}u \right|_{0}^{2} = \left. 2u^2 + \dfrac{3}{2}u \right|_{0}^{2}.
Avaliação em u=2:
2\cdot 2^2 + \dfrac{3}{2}\cdot 2 = 2\cdot 4 + 3 = 8 + 3 = 11.
Portanto a integral dupla (sem \sqrt{14}) é 11. Multiplicando pelo fator \sqrt{14} que ficou fora,
\int_{S}(x+y+z)\,dS = 11\sqrt{14}.

Resposta

11\sqrt{14}

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