Calcule a integral de superfície. \int_{S}(x+y+z) d S, S o paralelogramo com equações paramétricas x=u+v, y=u-v, z=1+2 u+v, 0 \leq u \leq 2,0 \leq v \leq 1 .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\int_{S}(x+y+z)\,dS,
onde S é o paralelogramo dado pelas parametrizações
x=u+v,\qquad y=u-v,\qquad z=1+2u+v,
com 0\le u\le 2 e 0\le v\le 1.
Informações relevantes que o enunciado fornece (copiadas da parametrização):
A parametrização da superfície é \mathbf{r}(u,v)=\big(u+v,\;u-v,\;1+2u+v\big).
O domínio paramétrico é o retângulo \{(u,v)\mid 0\le u\le 2,\\\ 0\le v\le 1\}.
A função a integrar sobre a superfície é f(x,y,z)=x+y+z.
O que o problema pede explicitamente:
Calcular \displaystyle \int_{S}(x+y+z)\,dS usando a parametrização dada.
Passo 2
Recordando a fórmula prática para integrais de superfície: se uma superfície S tem parametrização \mathbf{r}(u,v), então
Componente \mathbf{j}: 1\cdot 1 - 2\cdot 1 =1-2=-1, e lembrando o sinal do termo central do determinante dá -(-1)=+1. (Forma padrão: segunda componente é negativa do menor correspondente; aqui já aplicamos o sinal.)