Demonstre as identidades
Passo 1
O que o problema pede: demonstrar que
Informações dadas (que vamos assumir porque a identidade exige):
é um campo vetorial em
com componentes suficientemente suaves, ou seja,
onde cada
tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas (isso garante que as derivadas parciais mistas comutam). O enunciado pede mostrar que, para qualquer tal
, a divergência do rotacional de
é sempre zero.
Passo 2
Definições básicas (vamos entender bem o que cada operador faz).
A divergência de um campo é a soma das derivadas parciais das componentes em relação às suas variáveis:
A divergência de um campo
O rotacional (curl) de um campo
é o campo vetorial dado por:
Explicando símbolos:
denota derivada parcial em relação a
; por exemplo
é a taxa de variação de
quando só
varia.
Passo 3
Calcular explicitamente
usando as componentes de
. Pegamos as componentes
e aplicamos a fórmula do passo anterior:
Passo 4
Agora aplicamos a divergência ao vetor
. Pela definição de divergência (soma das derivadas parciais das componentes), obtemos:
Passo 5
Expandindo os parênteses e agrupando termos pareados:
Agora observe os pares de termos que se cancelam graças à comutatividade das derivadas parciais mistas (teorema de Clairaut), que vale porque assumimos derivadas de segunda ordem contínuas:
Usando essas igualdades, cada termo positivo cancela com um termo negativo correspondente, portanto a soma inteira é zero.]
Passo 6
Conclusão lógica: como a expansão da divergência do rotacional reduz-se a somas de diferenças de derivadas parciais mistas que se cancelam, temos
desde que as componentes de
tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas (condição padrão para trocar a ordem das derivadas).