Demonstre as identidades
\vec{\nabla} \cdot(\vec{\nabla} \times \vec{F})=0

Passo 1

O que o problema pede: demonstrar que
\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{F})=0.
Informações dadas (que vamos assumir porque a identidade exige): \vec{F} é um campo vetorial em \mathbb{R}^3 com componentes suficientemente suaves, ou seja, \vec{F}=(F_1,F_2,F_3) onde cada F_i(x,y,z) tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas (isso garante que as derivadas parciais mistas comutam). O enunciado pede mostrar que, para qualquer tal \vec{F}, a divergência do rotacional de \vec{F} é sempre zero.

Passo 2

Definições básicas (vamos entender bem o que cada operador faz).
A divergência de um campo \vec{G}=(G_1,G_2,G_3) é a soma das derivadas parciais das componentes em relação às suas variáveis:
\vec{\nabla}\cdot\vec{G}=\frac{\partial G_1}{\partial x}+\frac{\partial G_2}{\partial y}+\frac{\partial G_3}{\partial z}.
O rotacional (curl) de um campo \vec{F}=(F_1,F_2,F_3) é o campo vetorial dado por:
\vec{\nabla}\times\vec{F}=\Bigg(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\;\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\;\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\Bigg).
Explicando símbolos: \frac{\partial}{\partial x} denota derivada parcial em relação a x; por exemplo \frac{\partial F_1}{\partial x} é a taxa de variação de F_1 quando só x varia.

Passo 3

Calcular explicitamente \vec{\nabla}\times\vec{F} usando as componentes de \vec{F}. Pegamos as componentes F_1,F_2,F_3 e aplicamos a fórmula do passo anterior:
\vec{\nabla}\times\vec{F}=\Bigg(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\;\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\;\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\Bigg).

Passo 4

Agora aplicamos a divergência ao vetor \vec{\nabla}\times\vec{F}. Pela definição de divergência (soma das derivadas parciais das componentes), obtemos:
\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{F}) = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right).

Passo 5

Expandindo os parênteses e agrupando termos pareados:
\begin{aligned} \vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{F}) &= \frac{\partial^2 F_3}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^2 F_2}{\partial x\partial z} + \frac{\partial^2 F_1}{\partial y\partial z}-\frac{\partial^2 F_3}{\partial y\partial x}\\[4pt] &\quad+ \frac{\partial^2 F_2}{\partial z\partial x}-\frac{\partial^2 F_1}{\partial z\partial y}. \end{aligned}
Agora observe os pares de termos que se cancelam graças à comutatividade das derivadas parciais mistas (teorema de Clairaut), que vale porque assumimos derivadas de segunda ordem contínuas:
\frac{\partial^2 F_3}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 F_3}{\partial y\partial x}, \qquad \frac{\partial^2 F_2}{\partial z\partial x}=\frac{\partial^2 F_2}{\partial x\partial z}, \qquad \frac{\partial^2 F_1}{\partial y\partial z}=\frac{\partial^2 F_1}{\partial z\partial y}.
Usando essas igualdades, cada termo positivo cancela com um termo negativo correspondente, portanto a soma inteira é zero.]

Passo 6

Conclusão lógica: como a expansão da divergência do rotacional reduz-se a somas de diferenças de derivadas parciais mistas que se cancelam, temos
\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{F})=0,
desde que as componentes de \vec{F} tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas (condição padrão para trocar a ordem das derivadas).

Resposta

0

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