Demonstre as identidades
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a identidade
.
Informações/hipóteses que vamos usar:
Informações/hipóteses que vamos usar:
-
é um campo vetorial com componentes suficientemente suaves (pelo menos de classe ), ou seja, as derivadas parciais de segunda ordem existem e são contínuas. - Trabalhamos em coordenadas cartesianas
.
Passo 2
Definimos notação e operadores em componentes cartesianas (isso é fundamental para manipular as derivadas sem confusão).
- Escrevemos
, onde são funções de . - A divergência de
é o escalar
Aqui
significa
, etc.
- O gradiente de um escalar
é o vetor de derivadas parciais
- O rotor (curl) de
tem componentes
- O Laplaciano escalar é
. Para um campo vetorial aplicamos componente a componente:
Observação importante (usada na prova): por hipótese de suavidade, as derivadas mistas são iguais, ou seja
, etc.
Passo 3
Vamos calcular componente a componente o vetor
. Primeiro, escrevemos
com
Passo 4
Calculamos a primeira componente de
. Pela fórmula do rotor:
Substituindo
e
:
Agrupando os termos que têm
:
Usando as definições, isso é
Passo 5
Fazemos o mesmo para a segunda componente. Pela fórmula do rotor:
Substituindo
e
:
Agrupando:
ou seja
Passo 6
Agora a terceira componente:
Substituindo:
Agrupando:
ou seja
Passo 7
Juntando as três componentes obtidas nos passos anteriores, obtemos o vetor
Reconhecendo
e
, concluímos a identidade desejada.
Passo 8
Comentário didático final e condições: a demonstração usou apenas as fórmulas de componentes do rotor, as regras usuais de derivação e a igualdade das derivadas mistas (Clairaut). Em provas é comum fazer essa demonstração componente a componente em coordenadas cartesianas; alternativas usam notação de índices com o símbolo de Levi-Civita, que é mais compacta mas exige conhecer aquela notação.