Demonstre as identidades
\vec{\nabla} \times(\vec{\nabla} \times \vec{F})=\vec{\nabla}(\vec{\nabla} \cdot \vec{F})-\vec{\nabla}^{2} \vec{F}

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade
\vec{\nabla} \times(\vec{\nabla} \times \vec{F})=\vec{\nabla}(\vec{\nabla} \cdot \vec{F})-\vec{\nabla}^{2} \vec{F}.
Informações/hipóteses que vamos usar:
  • \vec{F} é um campo vetorial com componentes suficientemente suaves (pelo menos de classe C^2), ou seja, as derivadas parciais de segunda ordem existem e são contínuas.
  • Trabalhamos em coordenadas cartesianas x,y,z.

Passo 2

Definimos notação e operadores em componentes cartesianas (isso é fundamental para manipular as derivadas sem confusão).
  • Escrevemos \vec{F}=(F_1,F_2,F_3), onde F_1,F_2,F_3 são funções de (x,y,z).
  • A divergência de \vec{F} é o escalar
\vec{\nabla}\cdot\vec{F}=\partial_x F_1+\partial_y F_2+\partial_z F_3.
Aqui \partial_x significa \dfrac{\partial}{\partial x}, etc.
  • O gradiente de um escalar g é o vetor de derivadas parciais
\vec{\nabla} g=(\partial_x g,\partial_y g,\partial_z g).
  • O rotor (curl) de \vec{F} tem componentes
\vec{\nabla}\times\vec{F}= \bigl(\partial_y F_3-\partial_z F_2,\;\partial_z F_1-\partial_x F_3,\;\partial_x F_2-\partial_y F_1\bigr).
  • O Laplaciano escalar é \nabla^2=\partial_x^2+\partial_y^2+\partial_z^2. Para um campo vetorial aplicamos componente a componente:
\vec{\nabla}^2\vec{F}=\bigl(\nabla^2 F_1,\nabla^2 F_2,\nabla^2 F_3\bigr).
Observação importante (usada na prova): por hipótese de suavidade, as derivadas mistas são iguais, ou seja \partial_x\partial_y=\partial_y\partial_x, etc.

Passo 3

Vamos calcular componente a componente o vetor \vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{F}). Primeiro, escrevemos \vec{\nabla}\times\vec{F}=(C_1,C_2,C_3) com
C_1=\partial_y F_3-\partial_z F_2,\qquad C_2=\partial_z F_1-\partial_x F_3,\qquad C_3=\partial_x F_2-\partial_y F_1.

Passo 4

Calculamos a primeira componente de \vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{F}). Pela fórmula do rotor:
\bigl(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{F})\bigr)_1=\partial_y C_3-\partial_z C_2.
Substituindo C_2 e C_3:
\begin{aligned} \bigl(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{F})\bigr)_1 &=\partial_y\bigl(\partial_x F_2-\partial_y F_1\bigr)-\partial_z\bigl(\partial_z F_1-\partial_x F_3\bigr)\\[4pt] &=\partial_y\partial_x F_2-\partial_y^2 F_1-\partial_z^2 F_1+\partial_z\partial_x F_3. \end{aligned}
Agrupando os termos que têm \partial_x:
\bigl(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{F})\bigr)_1 =\partial_x\bigl(\partial_x F_1+\partial_y F_2+\partial_z F_3\bigr)-\bigl(\partial_x^2+\partial_y^2+\partial_z^2\bigr)F_1.
Usando as definições, isso é
\bigl(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{F})\bigr)_1 =\partial_x(\vec{\nabla}\cdot\vec{F})-\nabla^2 F_1.]

Passo 5

Fazemos o mesmo para a segunda componente. Pela fórmula do rotor:
\bigl(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{F})\bigr)_2=\partial_z C_1-\partial_x C_3.
Substituindo C_1 e C_3:
\begin{aligned} \bigl(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{F})\bigr)_2 &=\partial_z\bigl(\partial_y F_3-\partial_z F_2\bigr)-\partial_x\bigl(\partial_x F_2-\partial_y F_1\bigr)\\[4pt] &=\partial_z\partial_y F_3-\partial_z^2 F_2-\partial_x^2 F_2+\partial_x\partial_y F_1. \end{aligned}
Agrupando:
\bigl(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{F})\bigr)_2 =\partial_y\bigl(\partial_x F_1+\partial_y F_2+\partial_z F_3\bigr)-\bigl(\partial_x^2+\partial_y^2+\partial_z^2\bigr)F_2,
ou seja
\bigl(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{F})\bigr)_2 =\partial_y(\vec{\nabla}\cdot\vec{F})-\nabla^2 F_2.]

Passo 6

Agora a terceira componente:
\bigl(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{F})\bigr)_3=\partial_x C_2-\partial_y C_1.
Substituindo:
\begin{aligned} \bigl(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{F})\bigr)_3 &=\partial_x\bigl(\partial_z F_1-\partial_x F_3\bigr)-\partial_y\bigl(\partial_y F_3-\partial_z F_2\bigr)\\[4pt] &=\partial_x\partial_z F_1-\partial_x^2 F_3-\partial_y^2 F_3+\partial_y\partial_z F_2. \end{aligned}
Agrupando:
\bigl(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{F})\bigr)_3 =\partial_z\bigl(\partial_x F_1+\partial_y F_2+\partial_z F_3\bigr)-\bigl(\partial_x^2+\partial_y^2+\partial_z^2\bigr)F_3,
ou seja
\bigl(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{F})\bigr)_3 =\partial_z(\vec{\nabla}\cdot\vec{F})-\nabla^2 F_3.]

Passo 7

Juntando as três componentes obtidas nos passos anteriores, obtemos o vetor
\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{F}) =\bigl(\partial_x(\vec{\nabla}\cdot\vec{F})-\nabla^2 F_1,\; \partial_y(\vec{\nabla}\cdot\vec{F})-\nabla^2 F_2,\; \partial_z(\vec{\nabla}\cdot\vec{F})-\nabla^2 F_3\bigr).
Reconhecendo \vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\vec{F})=(\partial_x(\vec{\nabla}\cdot\vec{F}),\partial_y(\vec{\nabla}\cdot\vec{F}),\partial_z(\vec{\nabla}\cdot\vec{F})) e \vec{\nabla}^2\vec{F}=(\nabla^2 F_1,\nabla^2 F_2,\nabla^2 F_3), concluímos a identidade desejada.

Passo 8

Comentário didático final e condições: a demonstração usou apenas as fórmulas de componentes do rotor, as regras usuais de derivação e a igualdade das derivadas mistas (Clairaut). Em provas é comum fazer essa demonstração componente a componente em coordenadas cartesianas; alternativas usam notação de índices com o símbolo de Levi-Civita, que é mais compacta mas exige conhecer aquela notação.

Resposta

\vec{\nabla} \times(\vec{\nabla} \times \vec{F})=\vec{\nabla}(\vec{\nabla} \cdot \vec{F})-\vec{\nabla}^{2} \vec{F}

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