Determine o raio de convergência e o intervalo de divergência de cada série de potências abaixo.
Passo 1
Beleza! Temos a série de potências e queremos descobrir o raio de convergência dela e o intervalo de divergência. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries de potências e os testes de convergência, como o Teste da Raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o raio de convergência. Esse raio nos diz até onde a série converge. Para encontrá-lo, usamos o Teste da Raiz, que envolve calcular o limite:
Passo 3
Calculando o limite:
limm to infty raiz[m]1m+1 = limm to infty 1(m+1)^1/m
Sabemos que limm to infty (m+1)^1/m = 1, então:
limm to infty 1(m+1)^1/m = 11 = 1
Passo 4
O raio de convergênciaR é dado por:
R = 1limm to infty raiz[m]|am| = 11 = 1
Então, R = 1.
Passo 5
Agora, vamos para o intervalo de convergência, que é onde a série realmente converge. Sabemos que a série converge para |x| < R, ou seja, |x| < 1. Mas precisamos verificar os pontos extremos: x = 1 e x = -1.
Passo 6
Para x = 1:
A série fica:
summ=0^infty 1^mm+1 = summ=0^infty 1m+1
Essa é a série harmônica, que sabemos que diverge.
Para x = -1:
A série fica:
summ=0^infty (-1)^mm+1
Essa é uma série alternada. Usando o Teste de Leibniz, vemos que os termos 1m+1 diminuem e tendem a zero, então a série converge.
Resposta
O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é [-1, 1).