Considere a função
dada por
Mostre que
é uma solução da equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função
definida por uma soma infinita:
A tarefa é mostrar que essa função resolve uma equação diferencial específica:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e derivadas. Mas não se preocupa, vou explicar passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a função
é uma série de potências, ou seja, uma soma infinita de termos envolvendo potências de
. Esse tipo de função é bem legal porque a gente pode derivar termo a termo, tornando mais fácil encontrar as derivadas.
Passo 3
A gente precisa encontrar a segunda derivada de
, ou seja,
. Para isso, vamos derivar a função duas vezes.
Primeiro, a primeira derivada:
Derivando termo a termo:
Passo 4
Agora, vamos derivar novamente para encontrar a segunda derivada:
Simplificando:
Vamos mudar o índice da soma para facilitar. Seja
, então
. Quando
,
, mas como fator fatorial de número negativo não faz sentido, começamos a soma de
:
Passo 5
Observa que a série resultante da segunda derivada é exatamente
:
Substituindo isso na equação diferencial original:
Isso confirma que
satisfaz a equação diferencial dada.
Resposta
Portanto, mostramos que
é realmente uma solução da equação diferencial
.