Considere a função Psi: R R dada por
Psi(x)=sumn=0^infty (-1)^n x^2 n(2 n)!
Mostre que Psi é uma solução da equação diferencial
d^2 Psid x^2(x)+Psi(x)=0, x in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função Psi(x) definida por uma soma infinita:
Psi(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2 n(2 n)!
A tarefa é mostrar que essa função resolve uma equação diferencial específica:
d^2 Psid x^2(x) + Psi(x) = 0
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e derivadas. Mas não se preocupa, vou explicar passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a função Psi(x) é uma série de potências, ou seja, uma soma infinita de termos envolvendo potências de x. Esse tipo de função é bem legal porque a gente pode derivar termo a termo, tornando mais fácil encontrar as derivadas.

Passo 3

A gente precisa encontrar a segunda derivada de Psi(x), ou seja, d^2 Psid x^2(x). Para isso, vamos derivar a função duas vezes.
Primeiro, a primeira derivada:
d Psid x(x) = sumn=0^infty ddx ( (-1)^n x^2 n(2 n)! )
Derivando termo a termo:
d Psid x(x) = sumn=0^infty (-1)^n cdot 2n cdot x^2n - 1(2n)! = sumn=0^infty (-1)^n x^2n - 1(2n - 1)!

Passo 4

Agora, vamos derivar novamente para encontrar a segunda derivada:
d^2 Psid x^2(x) = ddx ( sumn=0^infty (-1)^n x^2n - 1(2n - 1)! ) = sumn=0^infty (-1)^n cdot (2n - 1) cdot x^2n - 2(2n - 1)!
Simplificando:
d^2 Psid x^2(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n - 2(2n - 2)!
Vamos mudar o índice da soma para facilitar. Seja m = n - 1, então n = m + 1. Quando n = 0, m = -1, mas como fator fatorial de número negativo não faz sentido, começamos a soma de m = 0:
d^2 Psid x^2(x) = summ=0^infty (-1)^m+1 x^2m(2m)! = - summ=0^infty (-1)^m x^2m(2m)!

Passo 5

Observa que a série resultante da segunda derivada é exatamente -Psi(x):
d^2 Psid x^2(x) = - Psi(x)
Substituindo isso na equação diferencial original:
d^2 Psid x^2(x) + Psi(x) = -Psi(x) + Psi(x) = 0
Isso confirma que Psi(x) satisfaz a equação diferencial dada.

Resposta

Portanto, mostramos que Psi(x) é realmente uma solução da equação diferencial d^2 Psid x^2(x) + Psi(x) = 0.

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