Calcule a integral de superfície integral duplaS F d s para o campo vetorial F e superfície orientada S, ou seja, determine o fluxo de F através de S. Para superfícies fechadas, use orientação (para fora) positiva:
F(x, y, z)=x z e^y imath-x z e^y jmath+z k, s é a parte do plano x+y+z=1 no primeiro octante, com orientação para baixo. Resp: -16

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial vec F(x,y,z)=x z e^y,vecimath - x z e^y,vecjmath + z,vec k através da parte do plano x+y+z=1 no primeiro octante, com orientação para baixo. O conteúdo envolvido é integral de superfície (fluxo) por parametrização, e vamos precisar parametrizar a superfície, calcular o vetor normal com a orientação dada e avaliar a integral dupla sobre o domínio projetado no plano xy.

Passo 2

Parametrizamos a superfície S por
r(x,y)=l(x,,y,,1 - x - yr),
com domínio triangular
D=(x,y)mid x>=0,;y>=0,;x+y<=1
Calculamos os vetores parciais
rx=(1,0,-1), ry=(0,1,-1),
então o produto vetorial é
rxtimes ry=(1,1,1)
Como queremos normal orientado para baixo (com componente k<0), adotamos
n = (-1,-1,-1)
e o elemento de área é dvec s= n,dA.

Passo 3

Em cada ponto da superfície temos z=1-x-y, então
vec Fl(r(x,y)r)=l(x(1-x-y)e^y,;-x(1-x-y)e^y,;1-x-yr)
O produto escalar com o normal é
vec Fcdot n = -l[x(1-x-y)e^y - x(1-x-y)e^y + (1-x-y)r] = -(1-x-y)

Passo 4

Agora montamos a integral dupla sobre D:
integral duplaSvec Fcdot dvec s = integral duplaD -(1 - x - y),dA
Primeiro a integral interna em y:
integral0^1-x(1-x-y),dy = (1-x)y - y^22 |0^1-x = (1-x)^22
Depois em x:
-integral0^1 (1-x)^22,dx = -12 integral0^1 (1 - 2x + x^2),dx = -12l[1 - 1 + tfrac13r] = -tfrac16

Resposta

-\frac{1}{6}

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