Calcule o divergente das seguintes funções vetoriais:
(a) V=x^2 i+3 x z^2 j-2 x z k

Passo 1

O exercício pede para calcular o divergente do campo vetorial vec V(x,y,z)=x^2, i+3xz^2, j-2xz, k. O assunto aqui é cálculo vetorial, mais especificamente o operador divergente. Para resolver, vamos usar a definição de divergente e derivadas parciais.

Passo 2

Para definir o divergente, lembramos que ele mede quanto o campo “afasta” de um ponto. A definição é:
nablacdotvec V = partial Vxpartial x+partial Vypartial y+partial Vzpartial z
Identificamos as componentes do vetor: Vx = x^2, Vy = 3xz^2 e Vz = -2xz.

Passo 3

Agora fazemos cada derivada parcial:
  • partial Vxpartial x=partial (x^2)partial x=2x.
  • partial Vypartial y=partial (3xz^2)partial y=0 porque não há y em 3xz^2.
  • partial Vzpartial z=partial (-2xz)partial z=-2x.

Passo 4

Somando tudo na definição do divergente:
nablacdotvec V = 2x + 0 + (-2x) = 0

Resposta

O divergente de vec V é zero.

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