Calcule o limite, se ele existir.
lim t 1 t^2+5 t+4t^2+3 t-4

Passo 1

Queremos calcular o limite de uma função racional quando a variável tende a 1. O conteúdo é limites de funções racionais e vamos precisar usar avaliação direta, fatoração do denominador e análise de sinais para determinar o comportamento próximo de t=1.

Passo 2

Primeiro avaliamos numerador e denominador em t=1: substituindo t=1 em t^2+5t+4 obtemos 1^2+5cdot1+4=10. No denominador t^2+3t-4 temos 1^2+3cdot1-4=0. Ou seja, o numerador tende a um valor finito (10) e o denominador a zero, sugerindo uma “reta vertical” em t=1.
Para entender o sinal e a divergência do quociente, fatoramos o denominador:
t^2+3t-4 = (t+4)(t-1)

Passo 3

Perto de t=1, t+4 é aproximadamente 5 (positivo) e t-1 muda de sinal conforme nos aproximamos pela esquerda ou pela direita.
Quando t→1^- temos t-1<0 e (t+4)>0, logo o denominador é negativo e o numerador positivo, fazendo a fração tender a -∞.
Quando t→1^+ temos t-1>0 e (t+4)>0, logo o denominador é positivo e a fração tende a +∞.

Passo 4

Como os limites laterais são diferentes (−∞ e +∞), o limite bilateral não existe.
Conclusão: não há limite finito nem infinito único quando t→1; o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite não existe (há divergência com limites laterais −∞ e +∞).

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