Calcule o limite, se ele existir.
Passo 1
Queremos calcular o limite de uma função racional quando a variável tende a 1. O conteúdo é limites de funções racionais e vamos precisar usar avaliação direta, fatoração do denominador e análise de sinais para determinar o comportamento próximo de t=1.
Passo 2
Primeiro avaliamos numerador e denominador em t=1: substituindo t=1 em t^2+5t+4 obtemos
. No denominador t^2+3t-4 temos
. Ou seja, o numerador tende a um valor finito (10) e o denominador a zero, sugerindo uma “reta vertical” em t=1.
Para entender o sinal e a divergência do quociente, fatoramos o denominador:
Para entender o sinal e a divergência do quociente, fatoramos o denominador:
Passo 3
Perto de t=1, t+4 é aproximadamente 5 (positivo) e t-1 muda de sinal conforme nos aproximamos pela esquerda ou pela direita.
Quando t→1^- temos t-1<0 e (t+4)>0, logo o denominador é negativo e o numerador positivo, fazendo a fração tender a -∞.
Quando t→1^+ temos t-1>0 e (t+4)>0, logo o denominador é positivo e a fração tende a +∞.
Quando t→1^- temos t-1<0 e (t+4)>0, logo o denominador é negativo e o numerador positivo, fazendo a fração tender a -∞.
Quando t→1^+ temos t-1>0 e (t+4)>0, logo o denominador é positivo e a fração tende a +∞.
Passo 4
Como os limites laterais são diferentes (−∞ e +∞), o limite bilateral não existe.
Conclusão: não há limite finito nem infinito único quando t→1; o limite bilateral não existe.
Conclusão: não há limite finito nem infinito único quando t→1; o limite bilateral não existe.
Resposta
O limite não existe (há divergência com limites laterais −∞ e +∞).