Calcule a integral de superfície
, onde
e
é a superfície fechada constituída das três superfícies:
(cone no topo),
(cilindro na lateral) e
(plano na base), com orientação positiva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície
, onde
e
é uma superfície fechada composta por um cone, um cilindro e a base. Vamos usar o Teorema da Divergência, que nos ajuda a transformar essa integral de superfície em uma integral de volume, facilitando a conta.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a divergência de
, que é dada por:
Calculando cada termo:
Então,
Passo 3
Agora, aplicando o Teorema da Divergência:
Como a divergência é constante igual a 10, basta calcular o volume
delimitado pela superfície
.
Passo 4
Vamos usar coordenadas cilíndricas
para facilitar a integra��ão. A região
é composta por duas partes:
- Um cilindro de raio 1 e altura de
a . - Um cone que vai de
até , onde a equação do cone é .
Passo 5
Calculamos o volume de cada parte separadamente:
- Cilindro:
- Cone:
A altura do cone vai dea , e a relação entre e é , então .
Integrando em
:
Passo 6
Somando os volumes das duas partes:
Agora, aplicando o Teorema da Divergência:
Resposta
A integral de superfície é igual a
.