Calcule a integral de superfície integral duplaS F cdot d S, onde F(x, y, z)=(4 x z,-4 y z, 10 z) e S é a superfície fechada constituída das três superfícies: z=10-9 raizx^2+y^2, 1 <= z <= 10 (cone no topo), x^2+y^2=1,0 <= z <= 1 (cilindro na lateral) e z=0 (plano na base), com orientação positiva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície , onde e é uma superfície fechada composta por um cone, um cilindro e a base. Vamos usar o Teorema da Divergência, que nos ajuda a transformar essa integral de superfície em uma integral de volume, facilitando a conta.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a divergência de div , F = partial (4xz)partial x + partial (-4yz)partial y + partial (10z)partial z , que é dada por:
partial (4xz)partial x = 4z, partial (-4yz)partial y = -4z, partial (10z)partial z = 10
Calculando cada termo:
div , F = 4z - 4z + 10 = 10
Então,

Passo 3

Agora, aplicando o Teorema da Divergência:
integral duplaS F cdot d S = integral triplaV div , F , dV
Como a divergência é constante igual a 10, basta calcular o volume delimitado pela superfície .

Passo 4

Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integra��ão. A região é composta por duas partes:
  1. Um cilindro de raio 1 e altura de a .
  2. Um cone que vai de até , onde a equação do cone é .

Passo 5

Calculamos o volume de cada parte separadamente:
  1. Cilindro:
Vcil = integral0^2pi integral0^1 integral0^1 r , dz , dr , dtheta = 2pi integral0^1 r cdot 1 , dr = 2pi [r^22]0^1 = pi
  1. Cone:
    A altura do cone vai de Vcone = integral0^2pi integral0^9/9 integral1^10 r , dz , dr , dtheta = 2pi integral0^1 integral1^10 r , dz , dr a 2pi integral0^1 r (10 - 1) , dr = 2pi cdot 9 integral0^1 r , dr = 18pi [r^22]0^1 = 9pi , e a relação entre e é , então .
Integrando em :

Passo 6

Somando os volumes das duas partes:
Vtotal = Vcil + Vcone = pi + 9pi = 10pi
Agora, aplicando o Teorema da Divergência:
integral duplaS F cdot d S = integral triplaV 10 , dV = 10 cdot Vtotal = 10 cdot 10pi = 100pi

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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