Considere o campo vetorial
Encontre uma função
tal que
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma função
tal que o gradiente dela seja igual ao campo vetorial dado:
Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e potenciais. Para resolver, precisamos entender o que é o gradiente e como encontrar uma função cujo gradiente corresponda ao campo vetorial fornecido.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função
é dado por:
Queremos que esse gradiente seja igual ao campo vetorial
. Ou seja:
Passo 3
Vamos começar encontrando
integrando a primeira equação em relação a
:
Como
é tratado como uma constante nessa integração, temos:
Onde
é uma função de integração que depende apenas de
.
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar
. Sabemos que:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando à segunda componente do gradiente:
Isso implica que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma constante.
Resposta
Portanto, a função
que satisfaz
é:
Onde
é uma constante arbitrária.