Considere o campo vetorial
F(x, y)=(x^3 y^4, x^4 y^3)
Encontre uma função f tal que nabla f=F;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma função F(x, y)=(x^3 y^4, x^4 y^3) tal que o gradiente dela seja igual ao campo vetorial dado:
Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e potenciais. Para resolver, precisamos entender o que é o gradiente e como encontrar uma função cujo gradiente corresponda ao campo vetorial fornecido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) é dado por:
partial fpartial x = x^3 y^4 e partial fpartial y = x^4 y^3
Queremos que esse gradiente seja igual ao campo vetorial . Ou seja:

Passo 3

Vamos começar encontrando f(x, y) = integral x^3 y^4 , dx integrando a primeira equação em relação a f(x, y) = y^4 integral x^3 , dx = y^4 ( x^44 ) + g(y) :
Como é tratado como uma constante nessa integração, temos:
Onde é uma função de integração que depende apenas de .

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar partial fpartial y = x^4 y^3 . Sabemos que:
partialpartial y ( x^4 y^44 + g(y) ) = x^4 cdot 4 y^34 + g'(y) = x^4 y^3 + g'(y)
Calculando a derivada de x^4 y^3 + g'(y) = x^4 y^3 em relação a g'(y) = 0 :
g(y) = C
Igualando à segunda componente do gradiente:
Isso implica que:
Integrando em relação a :
Onde é uma constante.

Resposta

Portanto, a função f(x, y) = x^4 y^44 + C que satisfaz é:
Onde é uma constante arbitrária.

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