Calcule a integral de superfície integral duplaS F cdot d S, onde F(x, y, z)=(2 x+y z,-2 y, y^22-z^2) e S é a superfície do sólido delimitado pelos planos coordenados e pelos planos x+z=2 e y+z=2, com vetor normal exterior a S.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F através da superfície fechada S=partial V do sólido limitado por x=0,y=0,z=0,x+z=2,y+z=2. Vamos usar o Teorema da Divergência, que diz que

$$
\iint_{S}\mathbf F\cdot d\mathbf S

\iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf F,dV.
$$

Passo 2

Primeiro, calculamos a divergência de F(x,y,z)=(2x+yz,-2y,tfracy^22-z^2):
nablacdot F =partialpartial x(2x+yz)+partialpartial y(-2y)+partialpartial zl(tfracy^22-z^2r) =2-2-2z =-2z

Passo 3

A região V é descrita por
0<= z<= 2, 0<= x<= 2-z, 0<= y<= 2-z

Passo 4

Montamos o integral triplo da divergência sobre V:
integral triplaV(-2z),dV =integral0^2integral0^2-zintegral0^2-z(-2z),dx,dy,dz =integral0^2(-2z)(2-z)^2,dz

Passo 5

Para calcular
I=-2integral0^2z(2-z)^2,dz,
expandimos (2-z)^2=4-4z+z^2 e integramos:
I=-2integral0^2(4z-4z^2+z^3),dz =-2l[2z^2-tfrac43z^3+tfrac14z^4r]0^2 =-2cdot43 =-83

Resposta

-\tfrac{8}{3}

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