Determine a Transformada de Laplace das funções abaixo:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a Transformada de Laplace da função $ p(x) = x e^{3x} $. Isso faz parte do estudo de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta super útil em matemática e engenharia para resolver equações diferenciais. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Basicamente, ela transforma uma função no domínio do tempo para o domínio da frequência. A fórmula da Transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é:
No nosso caso, a função $ f(t) $ é $ p(x) = x e^{3x} $. Então, vamos substituir na fórmula.
Passo 3
Substituindo $ p(x) = x e^{3x} $ na definição da Transformada de Laplace, ficamos com:
Podemos simplificar isso juntando os expoentes:
Passo 4
Agora, precisamos resolver essa integral. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é uma forma de integrar o produto de duas funções. A fórmula é:
Vamos definir:
- $ u = x $
$ du = dx $ - $ dv = e^{(3 - s)x} dx $
$ v = \frac{e^{(3 - s)x}}{3 - s} $
Aplicando a fórmula:
Agora, avaliamos essa expressão de 0 a infinito. Observando o comportamento da função exponencial, percebemos que quando $ x $ tende ao infinito, $ e^{(3 - s)x} $ tende a zero se $ s > 3 $.
Portanto, substituindo os limites:
Resposta
A Transformada de Laplace de $ p(x) = x e^{3x} $ é: