Determine a Transformada de Laplace das funções abaixo:
p(x)=x e^3 x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a Transformada de Laplace da função $ p(x) = x e^{3x} $. Isso faz parte do estudo de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta super útil em matemática e engenharia para resolver equações diferenciais. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Basicamente, ela transforma uma função no domínio do tempo para o domínio da frequência. A fórmula da Transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é:
f(t)
No nosso caso, a função $ f(t) $ é $ p(x) = x e^{3x} $. Então, vamos substituir na fórmula.

Passo 3

Substituindo $ p(x) = x e^{3x} $ na definição da Transformada de Laplace, ficamos com:
p(x) = x e^3x
Podemos simplificar isso juntando os expoentes:
Lx e^3x = integral0^infty e^-s x cdot x e^3x , dx

Passo 4

Agora, precisamos resolver essa integral. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é uma forma de integrar o produto de duas funções. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos definir:
  • $ u = x $ u = x $ du = dx $
  • $ dv = e^{(3 - s)x} dx $ Rightarrow $ v = \frac{e^{(3 - s)x}}{3 - s} $
Aplicando a fórmula:
du = dx
dv = e^(3 - s)x dx
Agora, avaliamos essa expressão de 0 a infinito. Observando o comportamento da função exponencial, percebemos que quando $ x $ tende ao infinito, $ e^{(3 - s)x} $ tende a zero se $ s > 3 $.
Portanto, substituindo os limites:
Rightarrow

Resposta

A Transformada de Laplace de $ p(x) = x e^{3x} $ é:
p(x) = x e^3x

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