Calcule a integral de superfície.
, onde
e
é a esfera
com orientação para fora
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente precisa calcular o fluxo
de
através da esfera
orientada para fora. O conteúdo principal aqui é o Teorema da Divergência, e a gente vai usar a definição de divergência e a fórmula do volume de uma esfera.
Passo 2
O Teorema da Divergência diz que
onde
Passo 3
Calculando a divergência:
Passo 4
Agora aplicamos o teorema:
Passo 5
Pela simetria, a integral de
sobre a esfera centrada em zero é zero, então
Passo 6
Logo só resta
Passo 7
E a volume da esfera de raio
é
Passo 8
Portanto o fluxo vale
Resposta
-\frac{64\pi}{3}