Calcule a integral de superfície.
integral duplaS F cdot d S, onde F(x, y, z)=x z i-2 y j+3 x k e S é a esfera x^2+y^2+z^2=4 com orientação para fora

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa calcular o fluxo integral duplaS Fcdot dS de F(x,y,z)=xz,i-2y,j+3x,k através da esfera x^2+y^2+z^2=4 orientada para fora. O conteúdo principal aqui é o Teorema da Divergência, e a gente vai usar a definição de divergência e a fórmula do volume de uma esfera.

Passo 2

O Teorema da Divergência diz que
integral duplaS Fcdot dS = integral triplaV (nablacdotF),dV,
onde V é o volume fechado pela superfície S. Então vamos primeiro achar nablacdotF.

Passo 3

Calculando a divergência:
nablacdotF = partialpartial x(xz) + partialpartial y(-2y) + partialpartial z(3x) = z - 2 + 0 = z - 2

Passo 4

Agora aplicamos o teorema:
integral duplaS Fcdot dS = integral triplaV (z-2),dV

Passo 5

Pela simetria, a integral de z sobre a esfera centrada em zero é zero, então
integral triplaV z,dV = 0

Passo 6

Logo só resta
integral triplaV (z-2),dV = -2 integral triplaV dV = -2 times Vol(esfera de raio 2)

Passo 7

E a volume da esfera de raio 2 é
Vol = 43pi (2)^3 = 323pi

Passo 8

Portanto o fluxo vale
-2 times 323pi = -64pi3

Resposta

-\frac{64\pi}{3}

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