Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites de funções de várias variáveis e o Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Compressão). Precisaremos entender como a função comporta-se quando
e
se aproximam de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Sabemos que a função seno está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Passo 3
Multiplicando toda a desigualdade por
, que é uma quantidade positiva (já que qualquer número elevado a uma potência par é positivo), obtemos:
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento dos limites das extremidades quando
:
Passo 5
Pelo Teorema do Sanduíche, se uma função está sempre entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela própria tem esse limite. Assim, como:
e ambas as extremidades tendem a 0, concluímos que:
Resposta
O limite é igual a zero.