Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:

Passo 1

Vamos resolver o limite lim (x, y) (0,0) x^4 sin(1x^2+|y|). Para isso, vamos utilizar conceitos de limites de funções de várias variáveis e o Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Compressão). Precisaremos entender como a função comporta-se quando x e y se aproximam de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função sin(1x^2+|y|). Sabemos que a função seno está sempre entre -1 e 1, ou seja:
-1 <= sin(1x^2+|y|) <= 1

Passo 3

Multiplicando toda a desigualdade por x^4, que é uma quantidade positiva (já que qualquer número elevado a uma potência par é positivo), obtemos:
- x^4 <= x^4 sin(1x^2+|y|) <= x^4

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento dos limites das extremidades quando (x, y) (0, 0):
lim(x, y) (0,0) (-x^4) = 0
lim(x, y) (0,0) x^4 = 0

Passo 5

Pelo Teorema do Sanduíche, se uma função está sempre entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela própria tem esse limite. Assim, como:
- x^4 <= x^4 sin(1x^2+|y|) <= x^4
e ambas as extremidades tendem a 0, concluímos que:
lim (x, y) (0,0) x^4 sin(1x^2+|y|) = 0

Resposta

O limite é igual a zero.

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