Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial F(x, y, z)=x^2 i+y^2 j+z^2 k, onde S é a parte do paraboloide z=1-x^2-y^2 que está acima do plano x y e S tem orientação ascendente.

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema de Stokes para o campo vetorial F(x,y,z)=x^2i+y^2j+z^2k sobre a superfície S dada pelo paraboloide z=1-x^2-y^2 acima do plano xy, orientada para cima. Para isso precisamos calcular os dois lados do Teorema de Stokes: integralS(nablatimesF)cdot dS e ointpartial SFcdot dr.

Passo 2

Para começar, vamos achar o rotacional de F. Como F(x,y,z)=(x^2,y^2,z^2), temos:
nablatimesF=(partial z^2partial y-partial y^2partial z,;partial x^2partial z-partial z^2partial x,;partial y^2partial x-partial x^2partial y)=(0,0,0)
Como nablatimesF=0, o integral de superfície é
integralS(nablatimesF)cdot dS=integralS0,dS=0.

Passo 3

Agora, para o contorno partial S, é a interseção de z=1-x^2-y^2 com z=0, isto é o círculo x^2+y^2=1 no plano z=0. Pela regra da mão direita (normal para cima), a orientação no plano xy é contrária ao relógio. Parâmetros:

Substituindo em nr(t)=(cos t,sin t,0), r'(t)=(-sin t,cos t,0), 0<= t<=2pi e calculando F:
ointpartial SFcdot dr
F(r(t))=(cos^2t,sin^2t,0),

Resposta

Como ambos os integras—o de superfície e o de linha—são iguais a zero, o Teorema de Stokes é validado para este campo e superfície.

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