Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial
, onde
é a parte do paraboloide
que está acima do plano
e
tem orientação ascendente.
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema de Stokes para o campo vetorial
sobre a superfície
dada pelo paraboloide
acima do plano
, orientada para cima. Para isso precisamos calcular os dois lados do Teorema de Stokes:
e
.
Passo 2
Para começar, vamos achar o rotacional de
. Como
, temos:
Como
Passo 3
Agora, para o contorno
, é a interseção de
com
, isto é o círculo
no plano
. Pela regra da mão direita (normal para cima), a orientação no plano
é contrária ao relógio. Parâmetros:
Substituindo em
Resposta
Como ambos os integras—o de superfície e o de linha—são iguais a zero, o Teorema de Stokes é validado para este campo e superfície.