Calcule a integral de superfície.
, onde
é a parte do plano
que está dentro do cilindro
Passo 1
O problema pede para calcular a integral de superfície
sendo que
limitada pelo cilindro
$$
{(x,y): x^{2} + y^{2} \le 4}\n
dS = \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2},dx,dy
$$
e, para facilitar o cálculo, coordenadas polares.
e, para facilitar o cálculo, coordenadas polares.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Daí
d(S) = \sqrt{1 + 1^2 + 1^2},dx,dy = \sqrt{3},dx,dy.
d(S) = \sqrt{1 + 1^2 + 1^2},dx,dy = \sqrt{3},dx,dy.
Passo 3
Substituímos
e o elemento de área na integral dupla sobre o disco
:
Note que
Passo 4
Agora passamos a coordenadas polares:
,
, com
,
. A integranda fica
e o elemento
. Logo a integral é
Passo 5
Distribuindo e separando,
Como
e
, sobra