Calcule a integral de superfície.
integral duplaS(x^2 z+y^2 z) d S, onde S é a parte do plano z=4+x+y que está dentro do cilindro x^2+y^2=4

Passo 1

O problema pede para calcular a integral de superfície
integral duplaSl(x^2z + y^2zr),dS,
sendo que
S: z = 4 + x + y
limitada pelo cilindro
$$
{(x,y): x^{2} + y^{2} \le 4}\n (x,y): x^2 + y^2 <= 4néíáó
dS = \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2},dx,dy
$$
e, para facilitar o cálculo, coordenadas polares.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de
f(x,y)=4+x+y:
fx = 1,
fy = 1
Daí
d(S) = \sqrt{1 + 1^2 + 1^2},dx,dy = \sqrt{3},dx,dy.

Passo 3

Substituímos z=4+x+y e o elemento de área na integral dupla sobre o disco D: x^2 + y^2 <= 4:
integral duplaS(x^2z + y^2z),dS = integral duplaD l(x^2(4+x+y)+y^2(4+x+y)r)raiz3,dx,dy
Note que
x^2(4+x+y)+y^2(4+x+y) = (x^2+y^2)(4 + x + y)

Passo 4

Agora passamos a coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta, com rin[0,2], thetain[0,2pi]. A integranda fica
(x^2+y^2)(4+x+y) = r^2l(4 + r(costheta+sintheta)r)
e o elemento dx,dy = r,dr,dtheta. Logo a integral é
raiz3integral0^2piintegral0^2l(r^2(4 + r(costheta+sintheta))r)r,dr,dtheta

Passo 5

Distribuindo e separando,
raiz3integral0^2piintegral0^2(4r^3 + r^4(costheta+sintheta)),dr,dtheta
Como integral0^2picostheta,dtheta=0 e integral0^2pisintheta,dtheta=0, sobra
raiz3l(integral0^2pidthetar)l(4integral0^2r^3,drr) = raiz3(2pi)l(4cdottfrac2^44r) = 32piraiz3

Resposta

32piraiz3

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