Calcule a integral de superfície
para o campo vetorial
e a superfície orientada
. Em outras palavras, determine o fluxo de
através de
. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).
, S é a superfície
com orientação para cima.
Passo 1
Temos o campo vetorial
e a superfície é o gráfico
para
e
, orientada para cima. O conteúdo aqui é integral de superfície de campo vetorial, que a gente resolve parametrizando a superfície e usando o produto vetorial para achar o vetor normal.
Passo 2
Parametrizamos a superfície por
, com
variando no domínio
. A fórmula para o fluxo é
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
$$\mathbf{r}_x=(1,0,ey),\quad\mathbf{r}_y=(0,1,xey).
$$Fazendo o produto vetorial:
$$\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y=(1,0,ey)\times(0,1,xey)=(-e^y,, -x e^y,,1).
$$Como a componente
é positiva, a orientação está para cima.
Passo 4
Avaliamoa
na parametrização:
. O produto escalar com o vetor normal é
Passo 5
O fluxo fica então
$$\iint_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\int_01\int_01(-4x^5 ey),dx,dy=-4\Bigl(\int_01x5dx\Bigr)\Bigl(\int_01e^y dy\Bigr)=-4\Bigl(\tfrac{1}{6}\Bigr)(e-1)=-\tfrac{2}{3}(e-1).
$$
Resposta
-\tfrac{2}{3}(e-1)