Calcule a integral de superfície integral duplaS F cdot d S para o campo vetorial F e a superfície orientada S. Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).
F(x, y, z)=x y i+4 x^4 j+y z k, S é a superfície z=x e^y, 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1 com orientação para cima.

Passo 1

Temos o campo vetorial F(x,y,z)=xy,i+4x^4,j+yz,k e a superfície é o gráfico z=xe^y para 0<= x<=1 e 0<= y<=1, orientada para cima. O conteúdo aqui é integral de superfície de campo vetorial, que a gente resolve parametrizando a superfície e usando o produto vetorial para achar o vetor normal.

Passo 2

Parametrizamos a superfície por r(x,y)=(x,y,xe^y), com (x,y) variando no domínio D=[0,1]times[0,1]. A fórmula para o fluxo é
integral duplaSFcdot dS=integral duplaDF(r(x,y))cdotl(rxtimesryr),dx,dy

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
$$\mathbf{r}_x=(1,0,ey),\quad\mathbf{r}_y=(0,1,xey).
$$Fazendo o produto vetorial:
$$\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y=(1,0,ey)\times(0,1,xey)=(-e^y,, -x e^y,,1).
$$Como a componente rx=(1,0,e^y),ry=(0,1,xe^y) é positiva, a orientação está para cima.

Passo 4

Avaliamoa F na parametrização: F(r(x,y))=(xy,,4x^4,,yx e^y). O produto escalar com o vetor normal é
xy(-e^y)+4x^4(-x e^y)+yx e^y=-xy e^y-4x^5 e^y+xy e^y=-4x^5 e^y

Passo 5

O fluxo fica então
$$\iint_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\int_01\int_01(-4x^5 ey),dx,dy=-4\Bigl(\int_01x5dx\Bigr)\Bigl(\int_01e^y dy\Bigr)=-4\Bigl(\tfrac{1}{6}\Bigr)(e-1)=-\tfrac{2}{3}(e-1).
$$

Resposta

-\tfrac{2}{3}(e-1)

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