Calcule a integral de superfície
para o campo veto- rial Fe superfície orientada
.Em outras palavias,determine ofluxo dc
através de
.Para superfícies fechadas,use a orientação positiva (para fora).
é a parte do paraboloide
que está acima do quadrado
,
,com orientação para cima.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o fluxo do campo vetorial
através da parte do paraboloide
acima do quadrado
, com orientação para cima. O conteúdo principal é integral de superfície de um campo vetorial e precisamos usar a parametrização
e a fórmula de fluxo para superfícies gráficas.
Passo 2
Para uma superfície dada por
orientada para cima, o vetor elemento de área é
Logo o fluxo é
onde
,
,
e
.
Passo 3
Aqui temos
, então
e as componentes do campo em função de
são
Passo 4
Substituindo na fórmula do fluxo:
Simplificando o integrando:
Passo 5
Expandindo termo a termo:
Agora computamos
para cada
, obtendo uma função de
.
Passo 6
Integrando em
e depois em
, chegamos à soma das parcelas:
Passo 7
Portanto, o fluxo de
através de
com orientação para cima é
.