Calcule a integral de superfície integral duplaS F cdot d S para o campo veto- rial Fe superfície orientada S .Em outras palavias,determine ofluxo dc F através de S .Para superfícies fechadas,use a orientação positiva (para fora).
F(x, y, z)=x y i+y z j+x x k, S é a parte do paraboloide z=4-x^2-y^2 que está acima do quadrado 0 <= x <= 1 0 <= y <= 1 ,com orientação para cima.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo do campo vetorial F(x,y,z)=xy,i + yz,j + xz,k através da parte do paraboloide z=4-x^2-y^2 acima do quadrado 0<= x<=1,,0<= y<=1, com orientação para cima. O conteúdo principal é integral de superfície de um campo vetorial e precisamos usar a parametrização z=f(x,y) e a fórmula de fluxo para superfícies gráficas.

Passo 2

Para uma superfície dada por z=f(x,y) orientada para cima, o vetor elemento de área é
dS=(-fx,i-fy,j+k),dx,dy
Logo o fluxo é
integral duplaSFcdot dS=integral duplaRl(-P,fx -Q,fy+Rr),dx,dy,
onde P=xy, Q=yz, R=xz e R=f(x,y)x.

Passo 3

Aqui temos f(x,y)=4-x^2-y^2, então
fx=partialpartial x(4-x^2-y^2)=-2x,
fy=partialpartial y(4-x^2-y^2)=-2y,
e as componentes do campo em função de (x,y) são
P=xy, Q=y(4-x^2-y^2), R=x(4-x^2-y^2)

Passo 4

Substituindo na fórmula do fluxo:
integral duplaSFcdot dS =integral dupla[0,1]^2l(-xy(-2x)-y(4-x^2-y^2)(-2y)+x(4-x^2-y^2)r),dx,dy
Simplificando o integrando:
2x^2y + 2y^2(4 - x^2 - y^2) + x(4 - x^2 - y^2)

Passo 5

Expandindo termo a termo:
2x^2y + 8y^2 - 2x^2y^2 - 2y^4 + 4x - x^3 - xy^2
Agora computamos
integral0^1l(2x^2y + 8y^2 - 2x^2y^2 - 2y^4 + 4x - x^3 - xy^2r)dx
para cada y, obtendo uma função de y.

Passo 6

Integrando em x e depois em y, chegamos à soma das parcelas:
integral0^1integral0^1l(2x^2y + 8y^2 - 2x^2y^2 - 2y^4 + 4x - x^3 - xy^2r)dx,dy =713180

Passo 7

Portanto, o fluxo de F através de S com orientação para cima é 713180.

Resposta

713180

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