Para as seguintes equações autônomas, desenhe o campo de direções e esboce algumas soluções:
,
Determine também as soluções de equilibrio e classifique estas soluções como assintóticamente estáveis, instáveis ou semiestáveis.
Determine também as soluções de equilibrio e classifique estas soluções como assintóticamente estáveis, instáveis ou semiestáveis.
Passo 1
O enunciado pede para a EDO autônoma
: desenhar o campo de direções, esboçar algumas soluções, encontrar pontos de equilíbrio e classificá-los quanto à estabilidade. Vamos usar teoria de campos de direções e análise de equilíbrio para EDOs de primeira ordem.
Passo 2
Para achar os pontos de equilíbrio, igualamos
a zero:
Logo, o único equilíbrio é
.
Passo 3
Para classificar a estabilidade, analisamos o sinal de
: se
, então
e as soluções decrescem (tendem a
); se
, então
e as soluções crescem (também em direção a
). Portanto,
é assintoticamente estável.
Passo 4
Para esboçar o campo de direções, note que em cada reta horizontal
a inclinação é a constante
. Acima de
as setas apontam para baixo, abaixo de
apontam para cima, e em
são horizontais. Sobre esse campo, as curvas-traço aproximam-se de
conforme
.
Passo 5
Para obter a solução geral, separamos variáveis:
Integrando,
Logo,
e podemos escrever
Resposta
O único ponto de equilíbrio é y=2, que é assintoticamente estável. As soluções gerais são y(t)=2+(y(0)−2)e^{−t}, e o campo de direções tem setas apontando para cima quando y<2, para baixo quando y>2 e horizontais em y=2.