Para as seguintes equações autônomas, desenhe o campo de direções e esboce algumas soluções:
y^prime=2-y,
Determine também as soluções de equilibrio e classifique estas soluções como assintóticamente estáveis, instáveis ou semiestáveis.

Passo 1

O enunciado pede para a EDO autônoma y'=2-y: desenhar o campo de direções, esboçar algumas soluções, encontrar pontos de equilíbrio e classificá-los quanto à estabilidade. Vamos usar teoria de campos de direções e análise de equilíbrio para EDOs de primeira ordem.

Passo 2

Para achar os pontos de equilíbrio, igualamos y'=2-y a zero:
2 - y = 0
Logo, o único equilíbrio é y=2.

Passo 3

Para classificar a estabilidade, analisamos o sinal de y'=2-y: se y>2, então 2-y<0 e as soluções decrescem (tendem a y=2); se y<2, então 2-y>0 e as soluções crescem (também em direção a y=2). Portanto, y=2 é assintoticamente estável.

Passo 4

Para esboçar o campo de direções, note que em cada reta horizontal y=c a inclinação é a constante 2-c. Acima de y=2 as setas apontam para baixo, abaixo de y=2 apontam para cima, e em y=2 são horizontais. Sobre esse campo, as curvas-traço aproximam-se de y=2 conforme tto+infty.

Passo 5

Para obter a solução geral, separamos variáveis:
dy2-y=dt
Integrando,
-ln|2-y|=t+C
Logo,
|2-y|=K e^-t,
e podemos escrever
y(t)=2+(y(0)-2)e^-t

Resposta

O único ponto de equilíbrio é y=2, que é assintoticamente estável. As soluções gerais são y(t)=2+(y(0)−2)e^{−t}, e o campo de direções tem setas apontando para cima quando y<2, para baixo quando y>2 e horizontais em y=2.

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