Utilize a série de potência da função 11-x para encontrar a representação em série da função f(x)=x^21+x.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos a função $ f(x) = \frac{x^{2}}{1+x} $ e queremos encontrar sua representação em série usando a série de potência da função $ \frac{1}{1-x} $. Basicamente, vamos transformar essa função racional em uma soma infinita de potências de $ x $. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de potência e manipulação algébrica simples.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a série de potência da função $ \frac{1}{1 - x} $. Sabemos que:
11 - x
Essa é uma série geométrica onde cada termo é $ x $ elevado a $ n $.

Passo 3

Agora, vamos observar a função que queremos expandir:
f(x) = x^21 + x
Para usar a série que conhecemos, precisamos manipular o denominador para se assemelhar a $ 1 - x $. Note que:
1 - x
Então, podemos reescrever $ f(x) $ da seguinte forma:
1 + x = 1 - (-x)

Passo 4

Agora, usando a série que conhecemos para $ \frac{1}{1 - x} $, substituímos $ x $ por $ -x $:
11 - x
Isso é válido para $ |-x| < 1 $, ou seja, $ |x| < 1 $.

Passo 5

Voltando à nossa função $ f(x) $:
f(x)
Agora, vamos distribuir o $ x^{2} $ na série:
f(x) = x^2 cdot 11 - (-x) = x^2 cdot sumn=0^infty (-1)^n x^n

Passo 6

Podemos simplificar a expressão ajustando o índice da soma. Deixe $ m = n + 2 $, então $ n = m - 2 $. Substituindo:
m = n + 2
Isso nos dá a representação em série da função $ f(x) $.

Resposta

A representação em série da função $ f(x) = \frac{x^{2}}{1 + x} $ é:
f(x) = x^21 + x

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