Utilize a série de potência da função
para encontrar a representação em série da função
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos a função $ f(x) = \frac{x^{2}}{1+x} $ e queremos encontrar sua representação em série usando a série de potência da função $ \frac{1}{1-x} $. Basicamente, vamos transformar essa função racional em uma soma infinita de potências de $ x $. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de potência e manipulação algébrica simples.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a série de potência da função $ \frac{1}{1 - x} $. Sabemos que:
Essa é uma série geométrica onde cada termo é $ x $ elevado a $ n $.
Passo 3
Agora, vamos observar a função que queremos expandir:
Para usar a série que conhecemos, precisamos manipular o denominador para se assemelhar a $ 1 - x $. Note que:
Então, podemos reescrever $ f(x) $ da seguinte forma:
Passo 4
Agora, usando a série que conhecemos para $ \frac{1}{1 - x} $, substituímos $ x $ por $ -x $:
Isso é válido para $ |-x| < 1 $, ou seja, $ |x| < 1 $.
Passo 5
Voltando à nossa função $ f(x) $:
Agora, vamos distribuir o $ x^{2} $ na série:
Passo 6
Podemos simplificar a expressão ajustando o índice da soma. Deixe $ m = n + 2 $, então $ n = m - 2 $. Substituindo:
Isso nos dá a representação em série da função $ f(x) $.
Resposta
A representação em série da função $ f(x) = \frac{x^{2}}{1 + x} $ é: