Parte 2 - Séries de Taylor (centradas na origem)
Expanda a função
em uma série de Taylor centrada em
até o termo de ordem
.
Expanda a função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa expandir a função $ f(x) = \sin(x^{2}) $ em uma série de Taylor centrada em $ x = 0 $, chegando até o termo de ordem $ x^{6} $. Isso envolve entender como as séries de Taylor funcionam, especialmente para funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma forma de escrever uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico, que nesse caso é $ x = 0 $. A fórmula geral da série de Taylor de uma função $ f(x) $ centrada em $ x = a $ é:
Passo 3
Como queremos a série centrada em $ x = 0 $, nosso ponto $ a $ é 0. A função que vamos expandir é $ \sin(x^{2}) $. Para simplificar, vamos usar a série de Taylor conhecida de $ \sin(u) $ e substituir $ u = x^{2} $.
A série de Taylor de $ \sin(u) $ em $ u = 0 $ é:
Passo 4
Agora, substituímos $ u = x^{2} $ nessa série:
Simplificando as potências de $ x $:
Passo 5
Como o exercício pede até o termo de ordem $ x^{6} $, vamos parar por aí. Ignoramos os termos de ordem superior $ x^{10} $ e além. Então, a série de Taylor de $ \sin(x^{2}) $ até $ x^{6} $ é:
Resposta
A expansão da função $ f(x) = \sin(x^{2}) $ em uma série de Taylor centrada em $ x = 0 $ até o termo de ordem $ x^{6} $ é: